Question

如圖，拋物線經過點A（-1,0）、B（3,0）、C（0，），連接AC、BC，將△ABC繞點C逆時針旋轉，使點A落在x軸上，得到△DCE，此時，DE所在直線與拋物線交于第一象限的點F.

（1）求拋物線對應的函數關系式.
（2）求點A所經過的路線長.
（3）拋物線的對稱軸上是否存在點P使△PDF是等腰三角形.
若存在，求點P的坐標；若不存在，說明理由.

Answer 1

（1）   （2） （3）P（1,2），（1，-2），（1,2）或（1，

試題分析：（1）拋物線經過點A（-1,0）、B（3,0）、C（0，），那么
，解得，所以拋物線對應的函數關系式為
（2）將△ABC繞點C逆時針旋轉，使點A落在x軸上，得到△DCE，則D的坐標（1，0）。所以AD=1+1=2，點A（-1,0）、C（0，），在，是直角，AO=1，CO=，由勾股定理得，同理CD=2，所以三角形ACD是等邊三角形，；點A所經過的路線是一個扇形的弧長，圓心角為，半徑為AC=2所以扇形的弧長=
（3）拋物線的對稱軸上存在點P使△PDF是等腰三角形，拋物線的對稱軸；設點P的坐標為（1，a），F的坐標為（x,y），則P、D都在拋物線的對稱軸上; 假設△PDF是等腰三角形，FD是腰，則PD=FD，由（1）知D的坐標（1，0），所以PD=，FD= ,則=，而點F在拋物線上，所以F的坐標滿足的解析式，解得；當△PDF是等腰三角形，FD是底邊，那么PF、PD是腰，所以PF=PD，則PD=，F的坐標為（x,y），F的坐標滿足的解析式；PF=，則=，解得a=2或a=,所以P點的坐標為P（1,2），（1，-2），（1,2）或（1，
點評：本題考查拋物線，等腰三角形，要求考生會用待定系數法求函數的解析式，掌握拋物線的性質，熟悉等腰三角形的性質