Question

【題目】任意一個正整數都可以進行這樣的分解： （是正整數，且），正整數的所有這種分解中，如果兩因數之差的絕對值最小，我們就稱是正整數的最佳分解．并規定： ．例如24可以分解成1×24，2×12，3×8或4×6，因為，所以4×6是24的最佳分解，所以．

（1）求的值；

（2）如果一個兩位正整數， （為自然數），交換其個位上的數與十位上的數得到的新數減去原來的兩位正整數所得的差記為，交換其個位上的數與十位上的數得到的新數加上原來的兩位正整數所得的和記為，若為4752，那么我們稱這個數為“最美數”，求所有“最美數”；

（3）在（2）所得“最美數”中，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）“最美數”為48和17；（3）.

【解析】試題分析：

（1）由題意可得： ，結合即可得到18的最佳分解是： ，從而可得： ；

（2）由題意易到： ， ，由此可得： 結合，可得，再結合都是自然數，且即可列出關于的二元一次方程組，解方程組即可求得符合條件的的值，從而可得“最美數”的值；

（3）由（2）中所得結果結合（1）中的方法即可求得的最大值.

試題分析：

（1）∵，且，

∴是的最佳分解，

∴；

（2）由題意可知： ，

，

∴，

∴ ，即 ，

∵為自然數，且，

∴，

解得： ，

∵為自然數，且，

∴或，

∴或，

即“最美數”為48和17；

（3）當時，∵

∴；

當時，∵17=1×17，

∴，

∵，

∴的最大值為： .