Question

【題目】如圖，已知∠ABC=90°，△ABE是等邊三角形，點P為射線BC上任意一點（點P與點B不重合），連接AP，將線段AP繞點A逆時針旋轉60°得到線段AQ，連接QE并延長交射線BC于點F．

(1)如圖，當BP=BA時，∠EBF=______°，猜想∠QFC =______°；

(2)如圖，當點P為射線BC上任意一點時，猜想∠QFC的度數，并加以證明．

(3)已知線段AB＝，設BP＝x，點Q到射線BC的距離為y，求y關于x的函數關系式．

Answer 1

【答案】（1）∠EBF=30°； ∠QFC=60°；（2）∠QFC=60°．（3）（x＞0）．

【解析】試題分析：（1）∠EBF與∠ABE互余，而∠ABE=60°，即可求得∠EBF的度數；利用觀察法，或量角器測量的方法即可求得∠QFC的度數；

（2）根據三角形的外角等于不相鄰的兩內角的和，證明∠BAP=∠EAQ，進而得到△ABP≌△AEQ，證得∠AEQ=∠ABP=90°，則∠BEF=180°-∠AEQ-∠AEB=180°-90°-60°=30°，∠QFC=∠EBF+∠BEF；

（3）過點F作FG⊥BE于點G，過點Q作QH⊥BC，根據△ABP≌△AEQ得到：設QE=BP=x，則QF=QE+EF=x+2．點Q到射線BC的距離y=QH=sin60°×QF=（x+2），即可求得函數關系式．

試題解析：（1）∵∠ABC=90°，∠BAE=60°，

∴∠EBF=30°；

則猜想：∠QFC=60°；

（2）∠QFC=60°．

∵∠BAP=∠BAE+∠EAP=60°+∠EAP，∠EAQ=∠QAP+∠EAP=60°+∠EAP，

∴∠BAP=∠EAQ

在△ABP和△AEQ中，

，

∴△ABP≌△AEQ （SAS）　

∴∠AEQ=∠ABP=90°

∴∠BEF=180°-∠AEQ-∠AEB=180°-90°-60°=30°，

∴∠QFC=∠EBF+∠BEF=30°+30°=60°；

（3）在圖1中，過點F作FG⊥BE于點G，過點Q作QH⊥BC于點H，

∵△ABE是等邊三角形，

∴BE=AB=，

由（1）得∠EBF=30°，在Rt△BGF中，

∴FG=2，BF=4，∴EF=BF=4，

∵△ABP≌△AEQ，∴QE=PB=x，∴QF=QE+EF=x+4，

由（2）得∠QFC=60°，∴在Rt△QHF中，∠FQH=30°

即y關于x的函數關系式是：（x＞0）

.