Question

【題目】如圖所示，△ABC的外接圓圓心O在AB上，點D是BC延長線上一點，DM⊥AB于M，交AC于N，且AC=CD．CP是△CDN的ND邊的中線．

(1)求證：△ABC≌△DNC；

(2)試判斷CP與⊙O的位置關系，并證明你的結論。

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）CP是⊙O的切線．證明見解析

【解析】

試題分析：（1）由題意要證全等，根據圓周角定理及等量代換得到全等條件即可解答；

（2）連接OC，利用等量代換證明角OCP為直角即可解答．

試題解析：（1）∵DM⊥AB，

∴∠AMN=90°，

∴∠MAN=90°-∠MNA，

又∵∠MNA=∠CND，

又∵∠D=90°-∠CND，

∴∠MAN=∠D，

又∵AC=CD，

AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°=∠NCD，

∴△ABC≌△DNC（ASA）

（2）CP是⊙O的切線．證明如下：

連接OC

∵CP為△CND的中線，

∴CP=PD=NP，

∴∠PCD=∠D=∠MAN．

又∠PCD+∠NCP=90°，∠MAN+∠MBC=90°，

∴∠NCP=∠MBC，

又∵OA=OC，

∴∠OCA=∠MAN

∴∠OCA+∠NCP=∠MAN+∠MBC=90°

∴CP是⊙O的切線．