Question

【題目】將矩形紙片沿對角線翻折，使點的對應點(落在矩形所在平面內，與相交于點，接.

(1)在圖1中，

①和的位置關系為__________________；

②將剪下后展開，得到的圖形是_________________；

(2)若圖1中的矩形變為平行四邊形時()，如圖2所示，結論①、②是否成立，若成立，請對結論②加以證明，若不成立，請說明理由

Answer 1

【答案】(1)①平行；②菱形； (2)結論①、②都成立，理由詳見解析.

【解析】

（1）①由平行線的性質和折疊的性質可得∠DAC=∠ACE，由∠AB'C=∠ADC=90°，可證點A，點C，點D，點B'四點共圓，可得∠ADB'=∠ACE=∠DAC，可得AC∥B'D；②由菱形的定義可求解；
（2）都成立，設點E的對應點為F，由平行線的性質和折疊的性質可得∠DAC=∠ACE，AF=AE，CE=CF，可得AF=AE=CE=CF，可得四邊形AECF是菱形．

解：（1）①∵四邊形ABCD是矩形
∴AD∥BC，∠B=∠ADC=90°
∴∠DAC=∠ACB
∵將矩形紙片ABCD沿對角線AC翻折，
∴∠AB'C=∠B=90°，∠ACB=∠ACE
∴∠DAC=∠ACE，
∴AE=EC
∵∠AB'C=∠ADC=90°
∴點A，點C，點D，點B'四點共圓，
∴∠ADB'=∠ACE，
∴∠ADB'=∠DAC
∴B'D∥AC，
故答案為：平行
②∵將△AEC剪下后展開，AE=EC
∴展開圖形是四邊相等的四邊形，
∴展開圖形是菱形

（2）都成立，
如圖2，設點E的對應點為F，

∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB
∵將矩形紙片ABCD沿對角線AC翻折，
∴∠ACB=∠ACE，AF=AE，CE=CF
∴∠DAC=∠ACE，
∴AE=EC
∴AF=AE=CE=CF

四邊形是菱形.