Question

已知：如圖，DABC內接于⊙O，AB為直徑，∠CBA的平分線交AC于點F，交⊙O于點D，DE⊥AB于點E，且交AC于點P，連結AD．

（1）求證：AP=PD；
（2）請判斷A，D，F三點是否在以P為圓心，以PD為半徑的圓上？并說明理由；
（3）連接CD，若CD﹦3，BD ﹦4，求⊙O的半徑和DE的長．

Answer 1

（1）見解析（2）見解析（3）見解析

試題分析：（1）利用等弧對等弦即可證明．
（2）利用等弧所對的圓周角相等，∠BAD=∠CBD再等量代換得出∠DBE=∠DEB，從而證明DB=DE=DC，所以B，E，C三點在以D為圓心，以DB為半徑的圓上．
（3）利用等弧所對的弦相等，得出AD的長度，再根據勾股定理得出AB的長度，然后得出園的半徑，再根據相似直角三角形對應對成比例竿出DE的長度.
解：(1）∵BD平分∠CBA，∴∠CBD＝∠DBA  
∵∠DAC與∠CBD都是弧CD所對的圓周角，∴∠DAC＝∠CBD 
∴∠DAC ＝∠DBA       ∵AB為直徑，   ∴∠ADB＝90° 
又∵DE⊥AB于點E，∴∠DEB＝90° 
∴∠ADE +∠EDB＝∠ABD +∠EDB＝90°
∴∠ADE＝∠ABD＝∠DAP 
∴PD＝PA     ………………………………………………4分
(2）A，D，F三點在以P為圓心，以PD為半徑的圓上
∵∠DFA +∠DAC＝∠ADE +∠PD F＝90°且∠ADE＝∠DAC
∴∠PDF＝∠PFD                    
∴PD＝PF  ∴PA＝PD= PF 
即 A，D，F三點在以P為圓心，以PD為半徑的圓上…………….8分
（3）⊙O的半徑是2.5；DE的長是2.4
點評：本題主要考查等弧對等弦，及確定一個圓的條件，此類題是中考的常考題，需要同學們牢固掌握．