Question

如圖，任意四邊形ABCD，對角線AC、BD交于O點，過各頂點分別作對角線AC、BD的平行線，四條平行線圍成一個四邊形EFGH.試想當四邊形ABCD的形狀發生改變時，四邊形EFGH的形狀會有哪些變化？完成以下題目：

（1）當ABCD為任意四邊形時，EFGH為________________；
當ABCD為矩形時，EFGH為________________；
當ABCD為菱形時，EFGH為________________；
當ABCD為正方形時，EFGH為________________；
當EFGH是矩形時，ABCD為________________；
當EFGH是菱形時，ABCD為________________；
當EFGH是正方形時，ABCD為________________.
（2）請選擇（1）中任意一個你所寫的結論進行證明.
（3）反之，當用上述方法所圍成的平行四邊形EFGH分別是矩形、菱形時，相應的原四邊形ABCD必須滿足怎樣的條件？

Answer 1

（1）平行四邊形；菱形；矩形；正方形；對角線垂直的四邊形；對角線相等的四邊形；對角線相等且垂直的四邊形. （2）見解析（3）當平行四邊形EFGH是矩形時，四邊形ABCD必須滿足：對角線互相垂直．  
當平行四邊形EFGH是菱形時，四邊形ABCD必須滿足：對角線相等

（1）平行四邊形；菱形；矩形；正方形；對角線垂直的四邊形；對角線相等的四邊形；對角線相等且垂直的四邊形.（2分）
（2）結合圖形，聯想特殊四邊形的特征及識別很容易發現，其中的橋梁為AC、BD.
證明：①當ABCD為任意四邊形時，EFGH為平行四邊形
∵EH∥AC∥FG，EF∥BD∥GH，
∴四邊形EFGH為平行四邊形.
證②：若ABCD為矩形，則EFGH為菱形.
∵EH∥AC∥FG，EF∥BD∥GH，
∴四邊形EACH，ACGF，EFBD，BDHG，EFGH均為平行四邊形，
∴EH＝AC＝FG，EF＝BD＝GH，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴AC＝BD，
∴EH＝AC＝FG＝EF＝BD＝GH，
∴四邊形EFGH為菱形.
③若ABCD為菱形，則EFGH為矩形，留給同學們自己證.（5分）
（3）當平行四邊形EFGH是矩形時，四邊形ABCD必須滿足：對角線互相垂直．  
當平行四邊形EFGH是菱形時，四邊形ABCD必須滿足：對角線相等．（3分）
（1）根據圖形的特點及性質可直接判斷．
（2）利用兩條直線都平行于第三條直線，則這兩條直線平行，再利用兩組對邊平行的四邊形是平行四邊形．
（3）和（2）中的問題重合．主要是利用對角線相等的平行四邊形是矩形以及一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形來進行確定條件．