Question

【題目】已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D為直線BC上一動點（點D不與B、C重合）．以AD為邊作正方形ADEF，連接CF．
（1）如圖1，當點D在線段BC上時，求證：①BD⊥CF．②CF=BC﹣CD．
（2）如圖2，當點D在線段BC的延長線上時，其它條件不變，請直接寫出CF、BC、CD三條線段之間的關系；
（3）如圖3，當點D在線段BC的反向延長線上時，且點A、F分別在直線BC的兩側，其它條件不變：①請直接寫出CF、BC、CD三條線段之間的關系．②若連接正方形對角線AE、DF，交點為O，連接OC，探究△AOC的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：①∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

∵四邊形ADEF是正方形，

∴AD=AF，∠DAF=90°，

∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，

∠DAF=∠CAF+∠DAC=90°，

∴∠BAD=∠CAF，

在△BAD和△CAF中， ，

∴△BAD≌△CAF（SAS），

∴∠ACF=∠ABD=45°，

∴∠ACF+∠ACB=90°，

∴BD⊥CF；

②由①△BAD≌△CAF可得BD=CF，

∵BD=BC﹣CD，

∴CF=BC﹣CD；

（2）

與（1）同理可得BD=CF，

所以，CF=BC+CD

（3）

①與（1）同理可得，BD=CF，

所以，CF=CD﹣BC；

②∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

則∠ABD=180°﹣45°=135°，

∵四邊形ADEF是正方形，

∴AD=AF，∠DAF=90°，

∵∠BAC=∠BAF+∠CAF=90°，

∠DAF=∠BAD+∠BAF=90°，

∴∠BAD=∠CAF，

在△BAD和△CAF中， ，

∴△BAD≌△CAF（SAS），

∴∠ACF=∠ABD=180°﹣45°=135°，

∴∠FCD=∠ACF﹣∠ACB=90°，

則△FCD為直角三角形，

∵正方形ADEF中，O為DF中點，

∴OC= DF，

∵在正方形ADEF中，OA= AE，AE=DF，

∴OC=OA，

∴△AOC是等腰三角形

【解析】（1）①根據等腰直角三角形的性質可得∠ABC=∠ACB=45°，再根據正方形的性質可得AD=AF，∠DAF=90°，然后利用同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF，然后利用“邊角邊”證明△BAD和△CAF全等，根據全等三角形對應角相等可得∠ACF=∠ABD，再求出∠ACF+∠ACB=90°，從而得證；②根據全等三角形對應邊相等可得BD=CF，從而求出CF=BC﹣CD；（2）與（1）同理可得BD=CF，然后結合圖形可得CF=BC+CD；（3）①與（1）同理可得BD=CF，然后結合圖形可得CF=CD﹣BC；②根據等腰直角三角形的性質求出∠ABC=∠ACB=45°，再根據鄰補角的定義求出∠ABD=135°，再根據同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF，然后利用“邊角邊”證明△BAD和△CAF全等，根據全等三角形對應角相等可得∠ACF=∠ABD，再求出∠FCD=90°，然后根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出OC= DF，再根據正方形的對角線相等求出OC=OA，從而得到△AOC是等腰三角形．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用等腰三角形的判定和正方形的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱：等角對等邊）．這個判定定理常用于證明同一個三角形中的邊相等；正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形．