Question

【題目】如圖，在直角坐標系中有一直角三角形AOB，O為坐標原點，OA=1，tan∠BAO=3，將此三角形繞原點O逆時針旋轉90°，得到△DOC，拋物線y=ax2+bx+c經過點A，B，C．

（1）求拋物線的解析式；
（2）若點P是第二象限內拋物線上的動點，其橫坐標為t，
①設拋物線對稱軸l與x軸交于一點E，連接PE，交CD于F，求出當△CEF與△COD相似時，點P的坐標；
②是否存在一點P，使△PCD的面積最大？若存在，求出△PCD的面積的最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：在Rt△AOB中，OA=1，tan∠BAO= =3，

∴OB=3OA=3．

∵△DOC是由△AOB繞點O逆時針旋轉90°而得到的，

∴△DOC≌△AOB，

∴OC=OB=3，OD=OA=1，

∴A、B、C的坐標分別為（1，0），（0，3）（﹣3，0）．

代入解析式為

，

解得： ．

∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3

（2）解：①∵拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3，

∴對稱軸l=﹣ =﹣1，

∴E點的坐標為（﹣1，0）．

如圖，

當∠CEF=90°時，△CEF∽△COD．此時點P在對稱軸上，即點P為拋物線的頂點，P（﹣1，4）；

當∠CFE=90°時，△CFE∽△COD，過點P作PM⊥x軸于點M，則△EFC∽△EMP．

∴ ，

∴MP=3EM．

∵P的橫坐標為t，

∴P（t，﹣t2﹣2t+3）．

∵P在第二象限，

∴PM=﹣t2﹣2t+3，EM=﹣1﹣t，

∴﹣t2﹣2t+3=﹣（t﹣1）（t+3），

解得：t1=﹣2，t2=﹣3（因為P與C重合，所以舍去），

∴t=﹣2時，y=﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3=3．

∴P（﹣2，3）．

∴當△CEF與△COD相似時，P點的坐標為：（﹣1，4）或（﹣2，3）；

②設直線CD的解析式為y=kx+b，由題意，得

，

解得： ，

∴直線CD的解析式為：y= x+1．

設PM與CD的交點為N，則點N的坐標為（t， t+1），

∴NM= t+1．

∴PN=PM﹣NM=﹣t2﹣2t+3﹣（ t+1）=﹣t2﹣ +2．

∵S△PCD=S△PCN+S△PDN，

∴S△PCD= PNCM+ PNOM

= PN（CM+OM）

= PNOC

= ×3（﹣t2﹣ +2）

=﹣ （t+ ）2+ ，

∴當t=﹣ 時，S△PCD的最大值為 ．

【解析】（1）先求出A、B、C的坐標，再用待定系數法就可以直接求出二次函數的解析式；（2）①拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3，故可以求出拋物線的對稱軸，分類討論當∠CEF=90°時，△CEF∽△COD．此時點P在對稱軸上，即點P為拋物線的頂點，當∠CFE=90°時，△CFE∽△COD，過點P作PM⊥x軸于點M，則△EFC∽△EMP．根據相似三角形的性質即可求出P點的坐標；②設直線CD的解析式為y=kx+b，由待定系數法即可求出解析式，設PM與CD的交點為N，根據CD的解析式表示出點N的坐標，再根據S△PCD=S△PCN+S△PDN，就可以表示出△PCD的面積，利用頂點式就可以求出結論。
【考點精析】本題主要考查了確定一次函數的表達式和二次函數的最值的相關知識點，需要掌握確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式y=kx+b（k不等于0）中的常數k和b．解這類問題的一般方法是待定系數法；如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a才能正確解答此題．