Question

【題目】如圖，二次函數y＝ax2+bx﹣12的圖象交x軸于A（﹣3，0），B（5，0）兩點，與y軸交于點C．點D是拋物線上的一個動點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）設點D的橫坐標為m，并且當m≤x≤m+5時，對應的函數值y滿足﹣m，求m的值；

（3）若點D在第四象限內，過點D作DE∥y軸交BC于E，DF⊥BC于F．線段EF的長度是否存在最大值？若存在，請求出這個最大值及相應點D的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣x﹣12；（2）m的值為﹣或0．（3）點D坐標為（，﹣11）時，線段EF長度的最大值為．

【解析】

（1）已知拋物線過點A、B，用待定系數法即可求其解析式．

（2）把二次函數配方求得頂點為（1，﹣），當x＝1時，二次函數有最小值y＝﹣．而在m≤x≤m+5范圍，函數值y對應的最小值也為﹣，故x＝1在m≤x≤m+5的范圍內，即m≤1≤m+5，解得﹣4≤m≤1．因為不確定x＝m還是x＝m+5時取得相應的最大值，故需分類討論．若x＝m離對稱軸較遠，則x＝m時取得最大值﹣m，代入計算即求得m的值；若x＝m+5離對稱軸距離較遠，則x＝m+5時取得最大值，代入計算即求得m的值．

（3）由DE∥y軸可得∠DEF＝∠BCO，點D與點E橫坐標相同．設點D橫坐標為d，用d表示點D縱坐標．求出直線BC解析式后，即能用d表示點E坐標，進而能用d表示DE的長度．由于DF⊥BC于E，所以cos∠DEF＝ ．在Rt△BOC中易求cos∠BCO的值，由∠DEF＝∠BCO得cos∠DEF＝cos∠BCO，能用含d的二次式表示EF，配方即求得EF的最大值．

解：（1）∵二次函數y＝ax2+bx﹣12的圖象過點A（﹣3，0），B（5，0）

∴ 解得：,

∴拋物線的解析式為y＝x2﹣x﹣12

（2）∵y＝x2﹣x﹣12＝（x﹣1）2﹣

∴當x＝1時，二次函數有最小值y＝﹣

∵當m≤x≤m+5時，對應的函數值y滿足﹣≤y≤m

∴對稱軸：x＝1在m≤x≤m+5的范圍內，即m≤1≤m+5

解得：﹣4≤m≤1

取點（m，0）與點（m+5，0）的中點M（m+）

①當m+≤1時，即﹣4≤m≤﹣，點M在對稱軸左側

∴x＝m到對稱軸的距離比x＝m+5到對稱軸的距離遠

∴x＝m時，y取得最大值

∴m2﹣m﹣12＝﹣m

解得：m1＝（舍去），m2＝﹣

②當m+＞1時，即﹣＜m≤1，點M在對稱軸右側

∴x＝m+5到對稱軸的距離比x＝m到對稱軸的距離遠

∴x＝m+5時，y取得最大值

∴（m+5）2﹣（m+5）﹣12＝﹣m

解得：m1＝﹣10（舍去），m2＝0

綜上所述，m的值為﹣或0．

（3）∵當x＝0時，y＝x2﹣x﹣12＝﹣12

∴C（0，﹣12）

∵B（5，0），∠BOC＝90°

∴直線BC：y＝x﹣12，BC＝

∴Rt△BOC中，cos∠BCO＝

∵DE∥y軸

∴∠DEF＝∠BCO，xE＝xD

設D（d，d2﹣d﹣12）（0＜d＜5），則E（d，d﹣12）

∴DE＝d﹣12﹣（d2﹣d﹣12）＝﹣d2+4d＝﹣（d﹣）2+5

∵DF⊥BC

∴∠DFE＝90°

∴cos∠DEF＝＝cos∠BCO＝

∴EF＝DE＝﹣（d﹣）2+

∴當d＝時，EF最大值為

此時，yD＝×（）2﹣×﹣12＝﹣11

∴點D坐標為（，﹣11）時，線段EF長度的最大值為．