Question

【題目】如圖所示，以△ABC的邊AB為直徑作⊙O，點C在⊙O上，BD是⊙O的弦，∠A=∠CBD，過點C作CF⊥AB于點F，交BD于點G，過C作CE∥BD交AB的延長線于點E．

（1）求證：CE是⊙O的切線；

（2）求證：CG=BG；

（3）若∠DBA=30°，CG=4，求BE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）．

【解析】試題分析：（1）連接OC，先證得，根據垂徑定理得到OC⊥BD，根據CE∥BD推出OC⊥CE，即可得到結論；

（2）根據圓周角定理得出∠ACB=90°，然后根據同角的余角相等得出∠A=∠BCF，即可證得∠BCF=∠CBD，根據同角對等邊即可證得結論；

（3）連接AD，根據圓周角定理得出∠ADB=90°，即可求得∠BAD=60°，根據圓周角定理得出∠DAC=∠BAC=30°，解直角三角形求得=tan30°=，然后根據三角形相似和等腰三角形的判定即可求得BE的值．

（1）證明：連接OC，∵∠A=∠CBD，∴ ，∴OC⊥BD，∵CE∥BD，∴OC⊥CE，∴CE是⊙O的切線；

（2）證明：∵AB為直徑，∴∠ACB=90°，∵CF⊥AB，∴∠ACB=∠CFB=90°，∵∠ABC=∠CBF，∴∠A=∠BCF，∵∠A=∠CBD，∴∠BCF=∠CBD，∴CG=BG；

（3）解：連接AD，∵AB為直徑，∴∠ADB=90°，∵∠DBA=30°，∴∠BAD=60°，∵，∴∠DAC=∠BAC=∠BAD=30°，∴=tan30°=，∵CE∥BD，∴∠E=∠DBA=30°，∴AC=CE，∴ =，∵∠A=∠BCF=∠CBD=30°，∴∠BCE=30°，∴BE=BC，∴△CGB∽△CBE，∴ ==，∵CG=4，∴BC=，∴BE=．