Question

【題目】已知，，是邊上一點(diǎn)，延長到點(diǎn)，使得，連接，過點(diǎn)作的垂線，交的垂直平分線于點(diǎn)，連接．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，證明：；

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)不與，兩點(diǎn)重合時(shí)，（1）中的結(jié)論是否還成立？并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）成立，理由見解析

【解析】

（1）延長FD至點(diǎn)G，使得DG=DF，連接BG，AG．

先證明△ADG≌△EDF，得到AG=EF．再證明△ABG≌△DBF，得到∠ABG=∠DBF，即有∠ABG=∠DBG=∠ABC=30°，進(jìn)而得到∠DBF=30°，根據(jù)30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半即可得到結(jié)論．

（2）成立．延長FD至點(diǎn)，使得DG=DF，連接BG，AG．

通過證明△ADG≌△EDF，得到AG=EF．由垂直平分線的性質(zhì)得到FC=FE，從而有AG=CF．

即可得到△ABG≌△CBF，由全等三角形對(duì)應(yīng)角相等得到∠ABG=∠CBF，即有∠ABG=∠GBD．進(jìn)而得出∠DBF=∠GBD=30°，根據(jù)30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半即可得到結(jié)論．

延長FD至點(diǎn)G，使得DG=DF，連接BG，AG．

∵DF⊥BC于點(diǎn) ，∴∠BDF=90°，∴BG=BF，∴∠DBF=∠DBG．

又∵AD=ED，∠ADG=∠EDF，DG=DF，∴△ADG≌△EDF（SAS），∴AG=EF．

∵點(diǎn)在CE的垂直平分線上，點(diǎn)與點(diǎn)重合，∴DF=EF，∴DF=AG．

∵AB=BC，∴△ABG≌△DBF（SSS），∴∠ABG=∠DBF，∴∠ABG=∠DBG=∠ABC=30°，∴∠DBF=30°，∴BG=2DG，∴BF=2DF．

（2）成立．理由如下：

延長FD至點(diǎn)，使得DG=DF，連接BG，AG．

∵DF⊥BC于點(diǎn)，∴∠BDF=90°，∴BG=BF，∴∠DBF=∠DBG．

又∵AD=ED，∠ADG=∠EDF，∴△ADG≌△EDF（SAS），∴AG=EF．

∵點(diǎn)在CE的垂直平分線上，∴FC=FE，∴AG=CF．

又∵AB=BC，∴△ABG≌△CBF（SSS），∴∠ABG=∠CBF，∴∠ABG=∠GBD．

又∵∠ABC=60°，∴∠GBD=30°，∴∠DBF=∠GBD=30°，∴BF=2DF．