Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，A(0，4)，B(3，4)，P 為線段 OA 上一動點，過 O，P，B 三點的圓交 x 軸正半軸于點 C，連結 AB, PC，BC，設 OP=m.

（1）求證：當 P 與 A 重合時，四邊形 POCB 是矩形.

（2）連結 PB，求 tan∠BPC 的值.

（3）記該圓的圓心為 M，連結 OM，BM，當四邊形 POMB 中有一組對邊平行時，求所有滿足條件的 m 的值.

（4）作點 O 關于 PC 的對稱點O ，在點 P 的整個運動過程中，當點O 落在△APB 的內部 (含邊界)時，請寫出 m 的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）tan∠BPC=；（3）m=或 m=；（4）0≤m≤或 m=．

【解析】

（1）由∠COA=90°可知PC為直徑，所以∠PBC=90°，P、A重合時得3個直角，即證四邊形POCB為矩形．

（2）題干已知的邊長只有OA、AB，所以要把∠BPC轉化到與OA、OB有關的三角形內．連接O，B，根據圓周角定理，得∠COB=∠BPC，又AB∥OC有∠ABP=∠COB，得∠BPC=∠ABO．

（3）分兩種情況：①OP∥BM即BM⊥x軸，延長BM交x軸于N，根據垂徑定理得ON=CN=3，設半徑為r，利用Rt△CMN的三邊關系列方程即可求出；②OM∥PB，根據圓周角定理和等腰三角形性質得到△BOM≌△COM，所以BO=CO=5，用m表示各條線段，再利用勾股定理列方程求得m的值．

（4）因為點O與點O'關于直線對稱，所以∠PO'C=∠POC=90°，即點O'在圓上；考慮點P運動到特殊位置：①點O'與點O重合；②點O'落在AB上；③點O'與點B重合．算出對應的m值再考慮范圍．

（1）∵∠COA=90°，∴PC是直徑，∴∠PBC=90°．

∵A（0，4）B（3，4），∴AB⊥y軸，∴當A與P重合時，∠OPB=90°，∴四邊形POCB是矩形；

（2）連結OB，（如圖1）

∴∠BPC=∠BOC．

∵AB∥OC，∴∠ABO=∠BOC，∴∠BPC=∠BOC=∠ABO，∴tan∠BPC=tan∠ABO；

（3）∵PC為直徑，∴M為PC中點．

①如圖2，當OP∥BM時，延長BM交x軸于點N．

∵OP∥BM，∴BN⊥OC于N，∴ON=NC，四邊形OABN是矩形，∴NC=ON=AB=3，BN=OA=4．

設⊙M半徑為r，則BM=CM=PM=r，∴MN=BN﹣BM=4﹣r．

∵MN2+NC2=CM2，∴（4﹣r）2+32=r2

解得：r，∴MN=4．

∵M、N分別為PC、OC中點，∴m=OP=2MN；

②如圖3，當OM∥PB時，∠BOM=∠PBO．

∵∠PBO=∠PCO，∠PCO=∠MOC，∴∠OBM=∠BOM=∠MOC=∠MCO．

在△BOM與△COM中，∵∠BOM=∠COM，∠OBM=∠OCM，BM=CM，∴△BOM≌△COM（AAS），∴OC=OB5．

∵AP=4﹣m，∴BP2=AP2+AB2=（4﹣m）2+32．

∵∠ABO=∠BOC=∠BPC，∠BAO=∠PBC=90°，∴△ABO∽△BPC，∴，∴PC，∴PC2BP2[（4﹣m）2+32]．

又PC2=OP2+OC2=m2+52，∴[（4﹣m）2+32]=m2+52

解得：m或m=10（舍去）．

綜上所述：m或m．

（4）∵點O與點O'關于直線對稱，∴∠PO'C=∠POC=90°，即點O'在圓上．

當O'與O重合時，得：m=0；

當O'落在AB上時，得：m；

當O'與點B重合時，得：m；

∴0≤m或m．