Question

【題目】如圖，已知AT切圓O于點T，點B在圓O上，且，連接AB并延長交圓O于點C，圓O的半徑為2，若AT的長恰好為2．

（1）求證：△BOC是等腰直角三角形；

（2）求AC的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）連接BT可證△BOT為等邊三角形，得BT=2，∠OTB=∠OBT=60°，進而得出△ABT是頂角為30°的等腰三角形，得出∠TBA=75°，根據平角定義得出∠CBO=45°，從而得到結論；

（2）先根據△OBC是等腰直角三角形求出BC，再證明△ABT∽△ATC，求出AB的長，從而可得出AC的長.

（1）連接BT，

∵∠BOT=60°，OB=OT，

∴△BOT是等邊三角形，

∴∠OTB=∠OBT=60°，BT=OB=2，

∵AT是⊙O的切線，

∴∠OTA=90°

∴∠BTA=30°

∵AT=2，

∴AT=BT，

∴∠TBA=

∵∠ABT+∠TBO+∠OBC=180°，

∴∠OBC=180°-∠ABT-∠TBO=180°-75°-60°=45°，

∵OB=OC

∴∠OCB=∠OBC=45°，即∠BOC=90°

∴△BOC是等腰直角三角形；

（2）∵△BOC是等腰直角三角形，OB=OC=2，

∴BC=

連接CT，則∠ACT=∠BOT，

由（1）可知，∠ATB=∠BOT，

∴∠ATB=∠ACT

又∠A=∠A

∴△ATB∽△ACT

∴，即

把AT=2，BC=代入，得，

解得，，（不合題意，舍去）

∴．