Question

【題目】如圖所示，等邊．

（1）如圖（1），若，現有兩點、分別從點、點同時出發，沿三角形的邊順時針運動，已知點的速度為，點的速度為．當點第一次到達點時，、同時停止運動．點，運動______秒后，為等腰三角形．

（2）如圖，點位于等邊的內部，且．將繞點順時針旋轉，點的對應點為點．

①依題意，補全圖形；

②若，，求與的面積比．

Answer 1

【答案】（1）4秒，16秒；（2）①見解析；②1:4.

【解析】

（1）△AMN是以MN為底邊等腰三角形時，證明△ACM≌△ABN，可得CM=BN，設出運動時間，表示出CM，NB的長，列出方程，解方程得到答案；

（2）①利用射線的作法得出D點位置，并連接AD，CD；

②證明△CDP是等邊三角形，求出AD，CD的長，作CM⊥BD于M，AN⊥BD于N，運用勾股定理求出CM，AN的長，再根據三角形面積公式求出面積比即可.

（1）設點M、N運動t秒后，可得到等邊三角形△AMN，如圖1，

AM=t，AN=AB-BN=12-2t，

∵△AMN是等邊三角形，

∴AM=AN，即t=12-2t，

解得，t=4，

∴點M、N運動4秒后，可得到等邊三角形AMN；

當點M、N在BC邊上運動時，可以得到以MN為底的等腰三角形，如圖2：

∵△AMN是等腰三角形，

∴AN=AM，

∴∠AMN=∠ANM，

∴∠AMC=∠ANB，

∵AB=BC=AC，

∴△ACB是等邊三角形，

∴∠C=∠B=60°，

在△ACM和△ABN中，

，

∴△ACM≌△ABN（AAS）

∴CM=BN，

設當點M、N在BC邊上運動時，M、N運動的時間y秒時，△AMN是等腰三角形，

∴CM=y-12，NB=36-2y，

由題意得，y-12=36-2y，

解得：y=16．

若點M、N在BC邊上運動時，能得到以MN為底邊的等腰三角形，M、N運動的時間為16秒．

（2）①如圖所示，

②∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ACB=60°，

∴∠PCA+∠PCB=60°，

∵∠PCA=∠CBP，

∴∠PCB+∠PBC=60°，

∴∠BPC=180°-60°=120°，

∵∠CPD=180°-∠BPC=60°，PD=PC，

∴△CDP是等邊三角形，

∴CD=CP=PD=3，∠DCP=∠ACB=60°，

∴∠DCA=∠PCB，且CA=CB，

∴△DCA≌△PCB（SAS），

∴AD=PB，

∵

∴AD=PB=12，

如圖，作CM⊥BD于M，AN⊥BD于N．

∵∠CDP=∠ADP=60°，

∴DM=PD=

∴CM=,

由△DCA≌△PCB得∠ADC=∠BPC=120°，

∴∠ADP=60°，

∴DN=，

∴AN=

∴