Question

【題目】如圖，在△ABC中，D是BC邊的中點，E、F分別在AD及其延長線上，CE∥BF，連接BE、CF．

（1）求證：△BDF≌△CDE；

（2）若AB=AC，求證：四邊形BFCE是菱形．

Answer 1

【答案】（1）△BDF≌△EDC；（2）四邊形BFCE是菱形．

【解析】試題分析：（1）由CE、BF的內錯角相等，可得出△CED和△BFD的兩組對應角相等；已知D是BC的中點，即BD=DC，由AAS即可證得兩三角形全等；

（2）若AB=AC，則△ABC是等腰三角形，而D是底邊BC的中點，根據等腰三角形三線合一的性質可證得AD⊥BC；由（1）的全等三角形，易證得四邊形BFCE的對角線互相平分；根據對角線互相垂直平分的四邊形是菱形即可判定四邊形BFCE是菱形．

試題解析：（1）∵CE∥BF，

∴∠ECD=∠FBD，∠DEC=∠DFB；

又∵D是BC的中點，即BD=DC，

∴△BDF≌△EDC（AAS）

（2）∵AB=AC，

∴△ABC是等腰三角形；

又∵BD=DC，∴AD⊥BC（三線合一），

由（1）知：△BDF≌△EDC，

則DE=DF，DB=DC；

∴四邊形BFCE是菱形（對角線互相平分且互相垂直的四邊形為菱形）．