Question

【題目】（2017黑龍江省龍東地區）已知：△AOB和△COD均為等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°．連接AD，BC，點H為BC中點，連接OH．

（1）如圖1所示，易證：OH=AD且OH⊥AD（不需證明）

（2）將△COD繞點O旋轉到圖2，圖3所示位置時，線段OH與AD又有怎樣的關系，并選擇一個圖形證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）圖2，圖3的結論都相同：OH=AD，OH⊥AD．

【解析】試題（1）只要證明△AOD≌△BOC，即可解決問題；

（2）①如圖2中，結論：OH=AD，OH⊥AD．延長OH到E，使得HE=OH，連接BE，由△BEO≌△ODA即可解決問題；

②如圖3中，結論不變．延長OH到E，使得HE=OH，連接BE，延長EO交AD于G．由△BEO≌△ODA即可解決問題；

試題解析：（1）證明：如圖1中，∵△OAB與△OCD為等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，∴OC=OD，OA=OB，在△AOD與△BOC中，∵OA=OB，∠AOD=∠BOC，OD=OC，∴△AOD≌△BOC（SAS），∴∠ADO=∠BCO，∠OAD=∠OBC，∵點H為線段BC的中點，∴OH=HB，∴∠OBH=∠HOB=∠OAD，又∵∠OAD+∠ADO=90°，∴∠ADO+∠BOH=90°，∴OH⊥AD；

（2）解：①結論：OH=AD，OH⊥AD，如圖2中，延長OH到E，使得HE=OH，連接BE，易證△BEO≌△ODA，∴OE=AD，∴OH=OE=AD．由△BEO≌△ODA，知∠EOB=∠DAO，∴∠DAO+∠AOH=∠EOB+∠AOH=90°，∴OH⊥AD．

②如圖3中，結論不變．延長OH到E，使得HE=OH，連接BE，延長EO交AD于G．

易證△BEO≌△ODA，∴OE=AD，∴OH=OE=AD．

由△BEO≌△ODA，知∠EOB=∠DAO，∴∠DAO+∠AOF=∠EOB+∠AOG=90°，∴∠AGO=90°，∴OH⊥AD．