Question

【題目】已知拋物線C1：y=ax2+bx﹣ （a≠0）經過點A（1，0）和B（﹣3，0）．
（1）求拋物線C1的解析式，并寫出其頂點C的坐標．
（2）如圖1，把拋物線C1沿著直線AC方向平移到某處時得到拋物線C2 ， 此時點A，C分別平移到點D，E處．設點F在拋物線C1上且在x軸的上方，若△DEF是以EF為底的等腰直角三角形，求點F的坐標．

（3）如圖2，在（2）的條件下，設點M是線段BC上一動點，EN⊥EM交直線BF于點N，點P為線段MN的中點，當點M從點B向點C運動時：①tan∠ENM的值如何變化？請說明理由；②點M到達點C時，直接寫出點P經過的路線長．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵拋物線C1：y=ax2+bx﹣ （a≠0）經過點A（1，0）和B（﹣3，0），

∴ 解得 ，

∴拋物線C1的解析式為y= x2+x﹣ ，

∵y= x2+x﹣ = （x+1）2﹣2，

∴頂點C的坐標為（﹣1，﹣2）

（2）解：如圖1，作CH⊥x軸于H，

∵A（1，0），C（﹣1，﹣2），

∴AH=CH=2，

∴∠CAB=∠ACH=45°，

∴直線AC的解析式為y=x﹣1，

∵△DEF是以EF為底的等腰直角三角形，

∴∠DEF=45°，

∴∠DEF=∠ACH，

∴EF∥y軸，

∵DE=AC=2 ，

∴EF=4，

設F（m， m2+m﹣ ），則E（m，m﹣1），

∴（﹣ m2+m﹣ ）﹣（m﹣1）=4，

解得m=﹣3（舍）或m=3，

∴F（3，6）

（3）解：①tan∠ENM的值為定值，不發生變化；

如圖2中，作EG⊥AC，交BF于G，

∵DF⊥AC，BC⊥AC，

∴DF∥BC，

∵DF=BC=AC，

∴四邊形DFBC是平行四邊形，

∵∠CDF=90°，

∴四邊形DFBC是矩形，

∴EG=BC=AC=2 ，

∵EN⊥EM，

∴∠MEN=90°，

∵∠CEG=90°，

∴∠CEM=∠NEG，

∴△ENG∽△EMC，

∴ = ，

∵F（3，6），EF=4，

∴E（3，2），

∵C（﹣1，﹣2），

∴EC=4 ，

∴ = =2，

∴tan∠ENM= =2；

∵tan∠ENM的值為定值，不發生變化；

②如圖3﹣1中，

∵直角三角形EMN中，PE= MN，直角三角形BMN中，PB= MN，

∴PE=PB，

∴點P在EB的垂直平分線上，

∴點P經過的路徑是線段PP′，如圖3﹣2，

當點M與B重合時，

∵△EGN∽△ECB，

∴ = ，

∵EC=4 ，EG=BC=2 ，

∴EB=2 ，

∴ = ，

∴EN= ，

∵PP′是△BEN的中位線，

∴PP′= EN= ；

∴點M到達點C時，點P經過的路線長為

【解析】
（1）將A、B兩點坐標代入函數解析式，建立方程組即可求得解析式，再把解析式化成頂點式即可求得頂點坐標。
（2）作CH⊥x軸于H，根據A、C的坐標求得直線AC的解析式為y=x-1，根據題意求得EF=4，求得EF∥y軸，設出點F的坐標，表示出點E的坐標，根據EF=4，解方程即可求得F的坐標。
（3）①先證得四邊形DFBC是矩形，作EG⊥AC，交BF于G，然后根據△EGN∽△EMC，對應邊成比例，即可求得tan∠ENM的值；②首先證明PE=PB，得出點P在EB的垂直平分線上，推出點P經過的路徑是線段PP′，如圖3-2，當點M與B重合時，可證得△EGN∽△ECB，即可求出EN的長，PP′是△BEN的中位線，根據中位線定理可得出PP′的長。
【考點精析】通過靈活運用三角形中位線定理和相似三角形的判定與性質，掌握連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線；三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方即可以解答此題．