Question

【題目】如圖1，在正方形ABCD的外側，作兩個等邊三角形ADE和DCF，連接AF，BE．

（1）請判斷：AF與BE的數量關系是 ，位置關系是 ；

（2）如圖2，若將條件“兩個等邊三角形ADE和DCF”變為“兩個等腰三角形ADE和DCF，且EA=ED=FD=FC”，第（1）問中的結論是否仍然成立？請作出判斷并給予說明；

（3）若三角形ADE和DCF為一般三角形，且AE=DF，ED=FC，第（1）問中的結論都能成立嗎？請直接寫出你的判斷．

Answer 1

【答案】（1）相等，互相垂直；（2）成立；（3）成立．

【解析】

試題分析：（1）易證△ADE≌△DCF，即可證明AF與BE的數量關系是：AF=BE，位置關系是：AF⊥BE；

（2）證明△ADE≌△DCF，然后證明△ABE≌△ADF即可證得BE=AF，然后根據三角形內角和定理證明∠AMB=90°，從而求證；

（3）與（2）的解法完全相同．

試題解析：解：（1）AF與BE的數量關系是：AF=BE，位置關系是：AF⊥BE．故答案為：相等，互相垂直；

（2）結論仍然成立．理由是：∵正方形ABCD中，AB=AD=CD，∴在△ADE和△DCF中，∵AE=DF，AD=CD，DE=CF，∴△ADE≌△DCF，∴∠DAE=∠CDF，又∵正方形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，∴∠BAE=∠ADF，∴在△ABE和△ADF中，∵AB=DA，∠BAE=∠ADF，AE=DF，∴△ABE≌△ADF，∴BE=AF，∠ABM=∠DAF，又∵∠DAF+∠BAM=90°，∴∠ABM+∠BAM=90°，∴在△ABM中，∠AMB=180°﹣（∠ABM+∠BAM）=90°，∴BE⊥AF；

（3）第（1）問中的結論都能成立．理由是：∵正方形ABCD中，AB=AD=CD，∴在△ADE和△DCF中，∵AE=DF，AD=CD，DE=CF，∴△ADE≌△DCF，∴∠DAE=∠CDF，又∵正方形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，∴∠BAE=∠ADF，∴在△ABE和△ADF中，∵AB=DA，∠BAE=∠ADF，AE=DF，∴△ABE≌△ADF，∴BE=AF，∠ABM=∠DAF，又∵∠DAF+∠BAM=90°，∴∠ABM+∠BAM=90°，∴在△ABM中，∠AMB=180°﹣（∠ABM+∠BAM）=90°，∴BE⊥AF．