Question

給出如下兩個命題：命題p：|a-1|＜6；命題q：集合A={x|x²+（a+2）x+1=0}，B={x|x＞0}，且A∩B=φ．求實數a的取值范圍，使命題p，q中有且只有一個真命題．

Answer 1

分析：本題是以命題及其關系為載體，解出命題p對應的范圍，考慮集合A=∅和集合 A≠∅兩種情況分別求出a的范圍，然后取并集可得a的范圍，對于p，q中有且只有一個真命題要注意p真q假和p假q真兩種情況．

解答：解：∵命題p：|a-1|＜6；
∴p：-5＜a＜7，
當△=（a+2）²-4=a（a+4）＜0即-4＜a＜0時，A=Ф，
此時A∩B=Ф
又當△=a（a+4）≥0即a≤-4或a≥0時A∩B=Ф ?

a≤-4或a≥0     x1+x2=-(a+2)＜0     x1x2=1＞0

解得：a≥0
∴q：a＞-4
（1）當 p真q假時，

-5＜a＜7   a≤-4

∴-5＜a≤-4…（9分）
（2）當 p假q真時，

a≤-5或a≥7   a＞-4

∴a≥7
∴當a∈（-5，-4]∪[7，+∞）時，p，q中有且只有一個為真命題

點評：本題綜合性較強，是易錯題，有兩點值得引起注意，其一滿足A∩B=Ф要考慮A=φ，A≠φ兩種情況；其二對于“p，q中有且只有一個真命題”也要注意p真q假和p假q真兩種情況．