Question

【題目】如下圖，下面一系列圖形中第一個最小的等腰直角三角形的面積都是1，后一個等腰直角三角形的斜邊恰好是前一個等腰直角三角形的直角邊的2倍，請計算每個圖形的面積，并填在相應的空中。

Answer 1

【答案】1 3 7 15 31 2n－1

【解析】本題考查的是數形結合的規律。認真觀察、比較、歸納每組圖形與第一個圖形的關系是本題的關鍵。

根據題意，已知第一個圖形的面積是1，要求每個圖形的面積，我們不妨找出每個圖形與第一個圖形的關系，通過分割將每個圖形分割成若干個第一個圖形，如下圖所示。

由圖示可知，第一個圖形的面積是1；

第二個圖形中有3個第一個圖形，即面積是3；

第三個圖形中有7個第一個圖形，即面積是7；

第四個圖形中有15個第一個圖形，即面積是15；

觀察歸納數列1、3、7、15、……的規律，可得1＝21－1；3＝22－1；7＝23－1；15＝24－1，所以下一個數是25－1＝31，第n個數是2n－1，故第5個圖形的面積是31，第n個圖形的面積是2n－1。