Question

（1）求2的2008次方除以3的余數？
（2）求1999的1999次方除以3的余數是多少？

Answer 1

考點：乘方

專題：文字敘述題

分析：（1）此題應利用從一般到特殊的數學方法找出規律解決問題．從2的1次方開始，除以3的余數為2；2的2次方除以3的余數為1；2的3次方除以3的余數為2；2的4次方除以3的余數為1；2的5次方除以3的余數為2；…；可以發現：當指數為奇數時，2的奇數次方除以3的余數為2；當指數為偶數時，2的偶數次方除以3的余數為1；從而可以判斷2的2008次方除以3的余數；
（2）本題也要尋找規律，把1999化為1998+1，由1998能被3整除，經過推理證明：1999的任何次方除以3的余數都與1999除以3的余數相同，從而判斷結果是多少．

解答： 解：（1）因為2的1次方除以3的余數為2；
2的2次方除以3的余數為1；
2的3次方除以3的余數為2；
2的4次方除以3的余數為1；
2的5次方除以3的余數為2；
…；
可以發現：當指數為奇數時，2的奇數次方除以3的余數為2；當指數為偶數時，2的偶數次方除以3的余數為1；
由此可以判斷2的2008次方除以3的余數為1；

（2）1999¹⁹⁹⁹=1999¹⁹⁹⁸×1999
=1999¹⁹⁹⁸×（1998+1）
=1999¹⁹⁹⁸×1998+1999¹⁹⁹⁸
因為1999¹⁹⁹⁸×1998中含有因數1998，1998能被3整除，所以1999¹⁹⁹⁸×1998能被3整除，因而1999¹⁹⁹⁹除以3的余數和1999¹⁹⁹⁸除以3的余數相同；
繼續推理，1999¹⁹⁹⁸除以3的余數又和1999¹⁹⁹⁷除以3的余數相同；
…；
最后發現：1999¹⁹⁹⁹除以3的余數和1999的1次方即1999除以3的余數相同，
而1999÷3的余數為1，
所以1999的1999次方除以3的余數是1．

點評：此題主要考查了同余問題的性質，從一般到特殊找到規律是解決問題的關鍵．