Question

【題目】如圖， 是棱形， 與相交于點，平面平面，且是直角梯形， .

（1）求證： ；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1）由菱形的性質可得，由線面垂直的性質可得平面，再由線面垂直的性質可得結論；（2）直角梯形中，由得平面，取的中點，以為坐標原點，以為軸， 為軸， 為軸，建立空間直角坐標系，分別求出平面的法向量與平面的法向量，利用空間向量夾角余弦公式可得二面角的余弦值.

試題解析：（1）證明：在棱形中，可得，

因為平面平面，且交線為，

所以平面，

因為平面，所以.

（2）直角梯形中，由，得平面.

取的中點，以為坐標原點，以為軸， 為軸， 為軸，建立空間直角坐標系，則.

所以.

設平面的法向量，

由，可取

由.

設平面的法向量為，

同上得，可取.

則，

即二面角的余弦值為.

【方法點晴】本題主要考查線面垂直判定與性質以及利用空間向量求二面角的大小，屬于難題. 空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當的空間直角坐標系；（2）寫出相應點的坐標，求出相應直線的方向向量；（3）設出相應平面的法向量，利用兩直線垂直數量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關系轉化為向量關系；（5）根據定理結論求出相應的角和距離.