Question

【題目】在一次智力測(cè)試中,有A,B兩個(gè)相互獨(dú)立的題目,答題規(guī)則為:被測(cè)試者答對(duì)問(wèn)題A可得分?jǐn)?shù)為a,答對(duì)問(wèn)題B得分?jǐn)?shù)b,先答哪個(gè)題目由被測(cè)試者自由選擇,但只有第一個(gè)問(wèn)題答對(duì),才能再答第二題,否則終止答題.若你是被測(cè)試者,且假設(shè)你答對(duì)問(wèn)題A,B的概率分別為p1,p2.

(1)若p1=,p2=,你如何依據(jù)題目分值的設(shè)置選擇答哪一道題?

(2)若已知a=10,b=20,當(dāng)p1,p2滿(mǎn)足怎樣的關(guān)系時(shí),你選擇先答A題?

Answer 1

【答案】(1) 選擇先答B(yǎng)題.

(2) p1+p1p2>2p2時(shí),選擇先答A題.

【解析】分析：(1)算出選擇答，所有得分情況及其對(duì)應(yīng)概率，求出選擇答的得分期望值，算出選擇答，所有得分情況及其對(duì)應(yīng)概率，求出選擇答的得分期望值，比較期望值的大小，即可得結(jié)果；(2)結(jié)合（1），可得，從而可得結(jié)果.

詳解：(1)設(shè)先答A的得分為隨機(jī)變量ξ,先答B(yǎng)的得分為隨機(jī)變量η.

∵P(ξ=0)=1-p1,P(ξ=a)=p1(1-p2),P(ξ=a+b)=p1p2,

∴E(ξ)=0(1-p1)+ap1(1-p2)+(a+b)p1p2.

∵P(η=0)=1-p2,P(η=b)=p2(1-p1),P(η=a+b)=p1p2,

∴E(η)=0(1-p2)+bp2(1-p1)+(a+b)p1p2.

∴E(ξ)-E(η)=ap1(1-p2)-bp2(1-p1).

若p1=,p2=,則E(ξ)-E(η)=a-b.

于是①當(dāng)a>b時(shí),選擇先答A題;

②當(dāng)a=b時(shí),選擇先答A,B均可;

③當(dāng)a<b時(shí),選擇先答B(yǎng)題.

(2)若a=10,b=20,則

E(ξ)-E(η)=10p1-20p2+10p1p2,

當(dāng)10p1-20p2+10p1p2>0,即p1+p1p2>2p2時(shí),選擇先答A題.