Question

【題目】 有10粒糖，每天至少吃一粒，吃完為止，共有多少種不同的吃法？

Answer 1

【答案】512

【解析】初看本題似乎覺得很好入手，比如可以按天數進行分類枚舉：

1天吃完的有1種方法，這天吃10塊；2天吃完的有9種方法，10=1+9=2+8=……=9+1；

當枚舉到3天吃完的時，情況就有點錯綜復雜了，叫人無所適從……所以我們必須換一種角度來思考．

不妨從具體的例子入手來分析，比如這10塊糖分4天吃完：

第1天吃2塊；第2天吃3塊；第3天吃1塊；第4天吃4塊．

我們可以將10個“○”代表10粒糖，把10個“○”排成一排，“○”之間共有9個空位，若相鄰兩塊糖是分在兩天吃的，就在其間畫一條豎線(如下圖)．

○○|○○○|○|○○○○

比如上圖就表示“第1天吃2塊；第2天吃3塊；第3天吃1塊；第4天吃4塊．”

這樣一來，每一種吃糖的方法就對應著一種“在9個空位中插入若干個‘|’的方法”，要求有多少個不同的吃法，就是要求在這9個空位中插入若干個“|”的方法數。

由于每個空位都有畫‘|’與“不畫‘|’兩種可能：

根據乘法原理，在這9個空位中畫若干個“|”的方法數有：，這也就說明吃完10顆糖共有512種不同的吃法。