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現有如圖1的8張大小形狀相同的直角三角形紙片，三邊長分別是a、b、c．用其中4張紙片拼成如圖2的大正方形（空白部分是邊長分別為a和b的正方形）；用另外4張紙片拼成如圖3的大正方形（中間的空白部分是邊長為c的正方形）．

（一）觀察：
從整體看，圖2和圖3的大正方形的面積都可以表示為（a+b）²，結論①依據整個圖形的面積等于各部分面積的和．
圖2中的大正方形的面積又可以用含字母a、b的代數式表示為：

a²+b²+2ab

a²+b²+2ab

，結論②
圖3中的大正方形的面積又可以用含字母a、b、c的代數式表示為：

c²+2ab

c²+2ab

，結論③
（二）思考：
結合結論①和結論②，可以得到一個等式

（a+b）²=a²+b²+2ab

（a+b）²=a²+b²+2ab

；
結合結論②和結論③，可以得到一個等式

a²+b²=c²

a²+b²=c²

；
（三）應用：
請你運用（二）中得到的結論任意選擇下列兩個問題中的一個解答：
（1）求1.46²+2×1.46×2.54+2.54²的值；
（2）若分別以直角三角形三邊為直徑，向外作半圓（如圖4），三個半圓的面積分別記作S₁、S₂、S₃，且S₁+S₂+S₃=20，求S₂的值．
（四）延伸（本題作為附加題，做對加2分）
若分別以直角三角形三邊為直徑，向上作三個半圓（如圖5），直角邊a=5，b=12，斜邊c=13，則表示圖中陰影部分面積和的數值是：

A

A

  A．有理數     B．無理數     C．無法判斷
請作出選擇，并說明理由．

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（本題9分）四年一度的國際數學家大會會標如圖甲．它是由四個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形．現有一張長為6.5cm、寬為2cm的紙片，如圖乙，請你根據圖甲的啟示將它分割成6塊，再拼合成一個正方形．（要求：先在圖乙中畫出分割線，再畫出拼成的正方圖甲形并標明相應數據）
          

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說明:對于解題過程中有的題目可用多種解法(或多種證明方法),如果考生的解答與參考答案不同,請參照此評分標準酌情給分.

一. 選擇題（本題共10小題，每小題4分，共40分）

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

C

A

B

B

D

B

A

D

C

C

評分標準

選對一題給4分，不選，多選，錯選均不給分

二、填空題（本題有6小題，每小題5分，共30分）

11．X≠6 ；      12． 2；　　　　13．８；           14．  65°；　　　

15．96 ；        16． （0，0），（0，），（0，-3）寫對一個給3分，兩個4分，三個給5分

三、解答題（本題有8小題，共80分）

17. （本題8分）

(1)解：原式＝1＋3－                                     　    …………（3分）

＝                                                　 …………（1分）

(2)解：愿方程可化為：x＝3(x－2 )                            　    …………（2分）

                    x＝3                                  　   …………（1分）

經檢驗 ：x＝3 是原方程的解．                            　 …………（1分）

18．（本題8分）

添加條件例舉：AD＝BC；OC＝OD；∠C＝∠D；∠CAO＝∠DBC等.    　……（2分）

證明例舉（以添加條件AD＝BC為例）：

∵ AB=AB，∠1＝∠2，BC＝AD，                   　   　　…………（2分）

∴ △ABC≌△BAD．                                 　      …………（2分）

        ∴ AC=BD．                                        　      …………（2分）

19．（本題8分）

（１）；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…………（３分）

 （２）列對表格或畫對樹狀圖；　　　　　　　　　　　　　　　　　…………（３分）

　　　兩次都取到歡歡的概率為．　　　　　　　　　　　　　　　　…………（２分）

20．（本題8分）

答案不唯一．只要符合要求，畫對一個給４分，畫對兩個給８分．　　　　　　　　……（８分）

21．（本題8分）

（１）∵AB是⊙O直徑，∴∠ACB=Rt∠．∴sin∠BAC=．   　 ………（3分）

（２）∵OE⊥AC,O是⊙O的圓心, ∴E是AC中點．∴OE＝BC=．   　  …（3分）

（３）∵AC＝=4， ∴tan∠ADC= tan∠ABC=．       　  ……（2分）

22．（本題10分）

（１） 25 ；                                               　 ……………（2分）

（２） 50；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　         　……………（2分）

　　　畫對條形統計圖　　　　　　　　　　　　　　　          　……………（2分）

（３）５人；（列對方程得２分，給出答案給２分）　　　　     　 ……………（４分）

23．（本題12分）

（1）；                                               　  ………………（2分）

 （2）－x²＋２x  ，１， ； （每格2分）                　     ……………（６分）

（3）設AB長為m，那么AD為

     S=?=－．　　　　　　　　　　    　    ……………（2分）

　　當＝時，Ｓ最大．　　　　　　　　　　　　　   　    ……………（2分）

24．（本題1４分）

（1）直線AB解析式為：y=x+．                      　     ……………（3分）

（2）方法一：設點Ｃ坐標為（x，x+），那么OD＝x，CD＝x+．　　

∴＝＝．           　  ………（2分）

由題意： ＝，解得（舍去）　　　　　………（2分）

∴　Ｃ（２，）　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　………（１分）

方法二：∵　,＝，∴．…（2分）

由OA=OB，得∠BAO＝30°，AD=CD．

∴　＝CD×AD＝＝．可得CD＝．　　………（2分）

∴　AD=１，OD＝２．∴C（２，）．　　　　　　　　　　　………（1分）

（３）當∠OBP＝Rt∠時，如圖

      ①若△BOP∽△OBA，則∠BOP＝∠BAO=30°，BP=OB=3，

∴（3，）．                                           　  ……（2分）

      ②若△BPO∽△OBA，則∠BPO＝∠BAO=30°,OP=OB=1．

∴（1，）．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  …………（１分）

當∠OPB＝Rt∠時

③ 過點P作OP⊥BC于點P(如圖)，此時△PBO∽△OBA，∠BOP＝∠BAO＝30°

過點P作PM⊥OA于點M．

方法一： 在Rt△PBO中，BP＝OB＝，OP＝BP＝．

∵ 在Rt△PＭO中，∠OPM＝30°，

∴ OM＝OP＝；PM＝OM＝．∴（，）．　　……（1分）

方法二：設Ｐ（x ，x+），得OM＝x ，PM＝x+

由∠BOP＝∠BAO,得∠POM＝∠ABO．

∵tan∠POM=== ，tan∠ABOC==．

∴x+＝x，解得x＝．此時，（，）． 　　　 ……（1分）

④若△POB∽△OBA(如圖)，則∠OBP=∠BAO＝30°，∠POM＝30°．　　　

  　 ∴　PM＝OM＝．

∴　（，）（由對稱性也可得到點的坐標）．…………（2分）

當∠OPB＝Rt∠時，點P在ｘ軸上,不符合要求.

綜合得，符合條件的點有四個，分別是：

（3，），（1，），（，），（，）．

注：四個點中，求得一個Ｐ點坐標給２分，兩個給３分，三個給４分，四個給６分．