題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿12分） 已知函數(shù)
（Ⅰ）將函數(shù)
化簡成
的形式，并指出的周期；（Ⅱ）求函數(shù)
上的最大值和最小值
(本小題滿分12分) 已知函數(shù)
（Ⅰ）將函數(shù)
化簡成
的形式，并指出的最小正周期；
（Ⅱ）求函數(shù)
上的最大值和最小值
化簡成
的形式，并指出的最小正周期；
上的最大值和最小值（本題滿分12分）
已知函數(shù)
（1）化簡函數(shù)的解析式將其寫成
的形式；
（2）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間及函數(shù)圖象的對稱中心；
（3）當(dāng)
時，
的最小值是
，最大值是
，求實數(shù)
的值．
（本小題滿分12分）已知向量
，向量
．
(Ⅰ)若
，且
，將
表示為
的函數(shù)，并求最小值及相應(yīng)的值.
(Ⅱ)若
，且
, 求 
的值.
一、選擇題：本題考查基礎(chǔ)知識和基本運(yùn)算.第小題5分，滿分50分.
1.C 2.B 3.A 4.D 5.C 6.A 7.A 8.D 9.B 10.B
二、填空題：本題考查基礎(chǔ)知識和基本運(yùn)算，第小題5分，滿分25分.
11.10 12.30°（或） 13.2 14.0.98
15.（3，－2），（x＋2）2＋（y－3）2＝16（或x2＋y2＋4x－6y－3＝0）
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.設(shè)
A. B. C. D.
解：，，選C
2. 的展開式中常數(shù)項是
A.210 B. C. D.-105
解：，令得
所以常數(shù)項為
3.若集合
A. “”是“”的充分條件但不是必要條件
B. “”是“”的必要條件但不是充分條件
C. “”是“”的充要條件
D. “”既不是“”的充分條件也不是“”的必要條件
解：反之不然故選A
4.用與球心距離為1的平面去截面面積為，則球的體積為
A. B. C. D.
解：截面面積為截面圓半徑為1，又與球心距離為球的半徑是，
所以根據(jù)球的體積公式知，故D為正確答案．
5.在平面直角坐標(biāo)系中，滿足不等式組的點的集合用陰影表示為下列圖中的
解：在坐標(biāo)系里畫出圖象，C為正確答案。也可取點坐標(biāo)檢驗判斷。
6.已知在R上是奇函數(shù)，且
A. B. C. D.
解：由題設(shè)
7.將函數(shù)的圖象F向右平移個單位長度得到圖象F′，若F′的一條對稱軸是直線則的一個可能取值是
A. B. C. D.
解： 平移得到圖象的解析式為,
對稱軸方程，
把帶入得，令，
8. 函數(shù)的定義域為
A. B.
C. D.
解：函數(shù)的定義域必須滿足條件：
9.從5名男生和5名女生中選3人組隊參加某集體項目的比賽，其中至少有一名女生入選的組隊方案數(shù)為
A.100 B.110 C.120 D.180
解：10人中任選3人的組隊方案有，沒有女生的方案有，
所以符合要求的組隊方案數(shù)為110種。
10.如圖所示，“嫦娥一號”探月衛(wèi)星沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球，在月球附近一點P變軌進(jìn)入以月球球心F為一個焦點的橢圓軌道I繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點第二次變軌進(jìn)入仍以F為一個焦點的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行，最終衛(wèi)星在P點第三次變軌進(jìn)入以F為圓形軌道Ⅲ繞月飛行，若用和分別表示橢圓軌道I和Ⅱ的焦距，用和分別表示橢圓軌道I和Ⅱ的長軸的長，給出下列式子：
①②③④其中正確式子的序號是
A.①③ B.②③ C.①④ D.②④
解：由焦點到頂點的距離可知②正確，由橢圓的離心率知③正確，故應(yīng)選Ｂ．
二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分，把答案填在答題卡相應(yīng)位置上.
11.一個公司共有1 000名員工，下設(shè)一些部門，要采用分層抽樣方法從全體員工中抽取一個容量為50的樣本，已知某部門有200名員工，那么從該部門抽取的工人數(shù)是 .
解：由分層抽樣方法可知從該部門抽取的工人數(shù)滿足
12.在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對的邊，已知則A＝ .
解：由余弦定理可得,
13.方程的實數(shù)解的個數(shù)為 .
解：畫出與的圖象有兩個交點，故方程的實數(shù)解的個數(shù)為2個。
14.明天上午李明要參加奧運(yùn)志愿者活動，為了準(zhǔn)時起床，他用甲、乙兩個鬧鐘叫醒自己，假設(shè)甲鬧鐘準(zhǔn)時響的概率是0.80，乙鬧鐘準(zhǔn)時響的概率是0.90，則兩個鬧鐘至少有一準(zhǔn)時響的概率是 .
解：兩個鬧鐘都不準(zhǔn)時響的概率是，所以至少有一準(zhǔn)時響的概率是
15.圓的圓心坐標(biāo)為 ， 和圓C關(guān)于直線對稱的圓C′的普通方程是 .
解：由題設(shè)，圓心坐標(biāo)；關(guān)于直線對稱的圓C′圓心為，半徑相等，所以方程是
三、解答題：本大題共6分小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
16.（本小題滿12分）
已知函數(shù)
（Ⅰ）將函數(shù)化簡成的形式，并指出的周期；
（Ⅱ）求函數(shù)上的最大值和最小值
解：(Ⅰ).
故的周期為｛k∈Z且k≠0｝.
(Ⅱ)由π≤x≤π，得.因為f(x)＝在[]上是減函數(shù)，在[]上是增函數(shù).
故當(dāng)x=時，f(x)有最小值－；而f(π)=－2，f(π)＝－＜－2，
所以當(dāng)x=π時，f(x)有最大值－2.
17.（本小題滿分12分）
已知函數(shù)（m為常數(shù)，且m>0）有極大值9.
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若斜率為-5的直線是曲線的切線，求此直線方程.
解：(Ⅰ) f’(x)＝3x2+2mx－m2=(x+m)(3x－m)=0,則x=－m或x=m,
當(dāng)x變化時，f’(x)與f(x)的變化情況如下表：
x
(－∞,－m)
－m
(－m,)
(,+∞)
f’(x)
+
0
－
0
+
f (x)
極大值
極小值
從而可知，當(dāng)x=－m時，函數(shù)f(x)取得極大值9，
即f(－m)＝－m3+m3+m3+1=9,∴m＝2.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，f(x)=x3+2x2－4x+1,
依題意知f’(x)＝3x2＋4x－4＝－5，∴x＝－1或x＝－.
又f(－1)＝6，f(－)＝，
所以切線方程為y－6＝－5(x＋1),或y－＝－5(x＋)，
即5x＋y－1＝0，或135x＋27y－23＝0.
18.（本小題滿分12分）
如圖，在直三棱柱中，平面?zhèn)让?/p>
（Ⅰ）求證：
（Ⅱ）若，直線AC與平面所成的角為，二面角
解：(Ⅰ)證明：如右圖，過點A在平面A1ABB1內(nèi)作AD⊥A1B于D，則
由平面A1BC⊥側(cè)面A1ABB1,且平面A1BC∩側(cè)面A1ABB1＝A1B，
得AD⊥平面
A1BC.又BC平面A1BC
所以AD⊥BC.
因為三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱,
則AA1⊥底面ABC,所以AA1⊥BC.
又AA1∩AD=A,從而BC⊥側(cè)面A1ABB1,
又AB側(cè)面A1ABB1，
故AB⊥BC.
(Ⅱ)證法1：連接CD,則由(Ⅰ)知∠ACD就是直線AC與平面A1BC所成的角，∠ABA1就是二面角A1－BC－A的頰角，即∠ACD＝θ，∠ABA1=j.
于是在RtΔADC中，sinθ=,在RtΔADA1中，sin∠AA1D＝,
∴sinθ=sin∠AA1D,由于θ與∠AA1D都是銳角，所以θ＝∠AA1D.
又由RtΔA1AB知，∠AA1D＋j＝∠AA1B＋j＝，故θ＋j＝.
證法2：由(Ⅰ)知，以點B為坐標(biāo)原點，以BC、BA、BB1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)AB=c（c＜a＝，則B(0,0,0)，A(0,c,0)，C(),
A1(0,c,a)，于是，＝（0，c,a）,
,=(0,c,a)
設(shè)平面A1BC的一個法向量為n=(x,y,z),
則由
可取n＝（0，－a，c），于是
n?=ac＞0，與n的夾角b為銳角,則b與q互為余角.
sinq=cosb=,
cosj=
所以sinq=cosj=sin(),又0＜q，j＜，所以q+j=.
19.（本不題滿分12分）
如圖，要設(shè)計一張矩形廣告，該廣告含有大小相等的左右兩個矩形欄目（即圖中陰影部分），這兩欄的面積之和為18000cm2,四周空白的寬度為10cm，兩欄之間的中縫空白的寬度為5cm，怎樣確定廣告的高與寬的尺寸（單位：cm），能使矩形廣告面積最小？
解：
解法1：設(shè)矩形欄目的高為a cm，寬為b cm，則ab=9000. ①
廣告的高為a+20，寬為2b+25，其中a＞0，b＞0.
廣告的面積S＝(a+20)(2b+25)
＝2ab+40b+25a+500＝18500+25a+40b
≥18500+2=18500+
當(dāng)且僅當(dāng)25a＝40b時等號成立，此時b=,代入①式得a=120，從而b=75.
即當(dāng)a=120，b=75時,S取得最小值24500.
故廣告的高為140 cm,寬為175 cm時，可使廣告的面積最小.
解法2：設(shè)廣告的高為寬分別為x cm，y cm，則每欄的高和寬分別為x－20，其中x＞20，y＞25
兩欄面積之和為2(x－20),由此得y=
廣告的面積S=xy=x()＝x,
整理得S=
因為x－20＞0，所以S≥2
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
此時有(x－20)2＝14400(x＞20)，解得x=140，代入y=+25,得y＝175，
即當(dāng)x=140，y＝175時，S取得最小值24500，
故當(dāng)廣告的高為140 cm，寬為175 cm時，可使廣告的面積最小.
20（本小題滿分13分）
已知雙曲線的兩個焦點為
的曲線C上.
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）記O為坐標(biāo)原點，過點Q (0,2)的直線l與雙曲線C相交于不同的兩點E、F，若△OEF的面積為求直線l的方程
解：(Ⅰ)解法1：依題意，由a2+b2=4，得雙曲線方程為（0＜a2＜4），
將點（3，）代入上式，得.解得a2=18（舍去）或a2＝2，
故所求雙曲線方程為
解法2：依題意得，雙曲線的半焦距c=2.
2a=|PF1|－|PF2|=
∴a2=2，b2=c2－a2=2.
∴雙曲線C的方程為
(Ⅱ)解法1：依題意，可設(shè)直線l的方程為y=kx+2，代入雙曲線C的方程并整理，
得(1－k2)x2－4kx－6=0.
∵直線I與雙曲線C相交于不同的兩點E、F,
∴
∴k∈(－)∪(1,).
設(shè)E(x1,y1),F(x2,y2)，則由①式得x1+x2=于是
|EF|=
=
而原點O到直線l的距離d＝,
∴SΔOEF=
若SΔOEF＝，即解得k=±,
滿足②.故滿足條件的直線l有兩條，其方程分別為y=和
解法2：依題意，可設(shè)直線l的方程為y=kx+2,代入雙曲線C的方程并整理，
得(1－k2)x2－4kx－6＝0. ①
∵直線l與比曲線C相交于不同的兩點E、F，
∴
∴k∈(－)∪(1,). ②
設(shè)E(x1,y1),F(x2,y2)，則由①式得
|x1－x2|＝. ③
當(dāng)E、F在同一支上時（如圖1所示），
SΔOEF＝|SΔOQF－SΔOQE|=；
當(dāng)E、F在不同支上時（如圖2所示），
SΔOEF＝SΔOQF＋SΔOQE＝
綜上得SΔOEF＝，于是
由|OQ|＝2及③式，得SΔOEF＝.
若SΔOEF＝2，即,解得k=±,滿足②.
故滿足條件的直線l有兩條，方程分別為y=和y=
21.（本小題滿分14分）
已知數(shù)列,其中為實數(shù)，為正整數(shù).
（Ⅰ）證明：當(dāng)
（Ⅱ）設(shè)為數(shù)列的前n項和，是否存在實數(shù)，使得對任意正整數(shù)n，都有 若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由.
解： (Ⅰ)證明：假設(shè)存在一個實數(shù)l，使｛an｝是等比數(shù)列，則有,即
（）2=2矛盾.
所以｛an｝不是等比數(shù)列.
（Ⅱ）證明：∵
又由上式知
故當(dāng)數(shù)列｛bn｝是以為首項，為公比的等比數(shù)列.
（Ⅲ）當(dāng)由（Ⅱ）得于是
當(dāng)時，，從而上式仍成立.
要使對任意正整數(shù)n , 都有
即
令
當(dāng)n為正奇數(shù)時，當(dāng)n為正偶數(shù)時，
于是可得
綜上所述，存在實數(shù)，使得對任意正整數(shù)，都有
的取值范圍為
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