（2012•廈門模擬）已知：f(x)=x+

a+1

x

(a∈R)，g(x)=lnx．
（I）若f′（1）=2，求a的值；
（Ⅱ）已知a＞e-1，若在[1，e]（e=2.718…）上存在一點x₀，使得f（x₀）＜ag（x₀）成立，求a的取值范圍；
（Ⅲ）設函數g（x）的圖象C₁與函數y=

1

2

x

2

+bx的圖象C₂交于點A、B，過線段A、B的中點M作x軸的垂線分別交C₁、C₂于點P、Q，問是否存在點M使C₁在P處的切線與C₂在Q處的切線平行？若存在，求出M的橫坐標；若不存在，請說明理由．

（2011•黑龍江一模）已知拋物線y²=2px（p＞0），F為其焦點，l為其準線，過F任作一條直線交拋物線于A、B兩點，A'、B'分別為A、B在l上的射影，M為A'B'的中點，給出下列命題：
①A'F⊥B'F；
②AM⊥BM；
③A'F∥BM；
④A'F與AM的交點在y軸上；
⑤AB'與A'B交于原點．
其中真命題的個數為（　　）

已知雙曲線C經過點(3，-2

2

)且漸近線方程為y=±x，直線l的方程為y=kx+m．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若m=-1，且直線l與C有且僅有一個公共點，求k的值；
（3）若m=-

2

k，|k|＞1，求直線l與C的兩個交點A、B的中點M的軌跡方程．