題目列表(包括答案和解析)
已知中心在原點，焦點在
軸上的橢圓
的離心率為
，且經過點
.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）是否存過點
（2,1）的直線
與橢圓相交于不同的兩點
，滿足
？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．
【解析】第一問利用設橢圓的方程為
，由題意得
解得
第二問若存在直線滿足條件的方程為
，代入橢圓的方程得
．
因為直線與橢圓相交于不同的兩點，設兩點的坐標分別為
，
所以
所以
．解得。
解：⑴設橢圓的方程為，由題意得
解得，故橢圓的方程為
．……………………4分
⑵若存在直線滿足條件的方程為，代入橢圓的方程得
．
因為直線與橢圓相交于不同的兩點，設兩點的坐標分別為，
所以
所以．
又
，
因為，即
，
所以
．
即
．
所以
，解得
．
因為A,B為不同的兩點，所以k=1/2．
于是存在直線L1滿足條件，其方程為y=1/2x
已知函數 
R)．
（Ⅰ）若 
，求曲線
在點 
處的的切線方程；
（Ⅱ）若 
對任意 
恒成立，求實數a的取值范圍．
【解析】本試題主要考查了導數在研究函數中的運用。
第一問中，利用當
時，
．
因為切點為（
），
則
，
所以在點（）處的曲線的切線方程為：
第二問中，由題意得，
即
即可。
Ⅰ）當時，．
，
因為切點為（），
則，
所以在點（）處的曲線的切線方程為：． ……5分
（Ⅱ）解法一：由題意得，即． ……9分
（注：凡代入特殊值縮小范圍的均給4分）
，
因為，所以
恒成立，
故
在
上單調遞增，
……12分
要使
恒成立，則
，解得．……15分
解法二：
……7分
（1）當
時，在
上恒成立，
故在上單調遞增，
即．
……10分
（2）當
時，令
，對稱軸
，
則
在上單調遞增，又
① 當
，即
時，
在上恒成立，
所以在單調遞增，
即，不合題意，舍去
②當
時，
，
不合題意，舍去 14分
綜上所述：
設橢圓 
：
（
）的一個頂點為
，
，
分別是橢圓的左、右焦點，離心率
，過橢圓右焦點
的直線 
與橢圓 
交于
，
兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）是否存在直線 ，使得
，若存在，求出直線
的方程；若不存在，說明理由；
【解析】本試題主要考查了橢圓的方程的求解，以及直線與橢圓的位置關系的運用。（1）中橢圓的頂點為
，即
又因為
，得到
，然后求解得到橢圓方程（2）中，對直線分為兩種情況討論，當直線斜率存在時，當直線斜率不存在時，聯立方程組，結合得到結論。
解：（1）橢圓的頂點為，即
，解得，
橢圓的標準方程為
--------4分
（2）由題可知,直線與橢圓必相交.
①當直線斜率不存在時，經檢驗不合題意． --------5分
②當直線斜率存在時，設存在直線為
，且
，
.
由
得
， ----------7分
，
，
=
所以
，
----------10分
故直線的方程為
或
即
或
已知點
（
）,過點
作拋物線
的切線，切點分別為
、
（其中
）．
（Ⅰ）若
，求
與
的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若以點為圓心的圓
與直線
相切，求圓的方程；
（Ⅲ）若直線的方程是
，且以點為圓心的圓與直線相切，
求圓面積的最小值．
【解析】本試題主要考查了拋物線的的方程以及性質的運用。直線與圓的位置關系的運用。
中∵直線
與曲線
相切，且過點
，∴
，利用求根公式得到結論先求直線
的方程，再利用點P到直線的距離為半徑，從而得到圓的方程。
（3）∵直線的方程是，，且以點為圓心的圓與直線相切∴點到直線的距離即為圓的半徑，即
，借助于函數的性質圓面積的最小值
（Ⅰ）由
可得，
． ------1分
∵直線與曲線相切，且過點，∴，即
，
∴
，或
， --------------------3分
同理可得：
，或
----------------4分
∵，∴
，． -----------------5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
,
，則的斜率
，
∴直線的方程為：
，又
，
∴
，即
． -----------------7分
∵點到直線的距離即為圓的半徑，即
，--------------8分
故圓的面積為
． --------------------9分
（Ⅲ）∵直線的方程是，，且以點為圓心的圓與直線相切∴點到直線的距離即為圓的半徑，即， ………10分
∴
，
當且僅當
，即
，
時取等號．
故圓面積的最小值．
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