題目列表(包括答案和解析)
的三個頂點均在格點上，請按要求完成下列各題：
的三個內角中任選一個銳角，若你所選的銳角是 ，則它所對應的正弦函數值是 ．
﹣（本題10分）如圖，在邊長為1的小正方形組成的網格中，
的三個頂點均在格點上，請按要求完成下列各題：
（1） 用簽字筆畫AD∥BC（D為格點），連接CD；線段CD的長為 ；
（2） 請你在
的三個內角中任選一個銳角，若你所選的銳角是 ，則它所對應的正弦函數值是 ．
（3） 若E為BC中點，則tan∠CAE的值是 .
（本小題滿分14分）
如圖①，已知四邊形ABCD是正方形，點E是AB的中點，點F在邊CB的延長線上，且BE=BF，連接EF．
1.（1）若取AE的中點P，求證：BP=
CF；
2.（2）在圖①中，若將
繞點B順時針方向旋轉
（00<<3600），如圖②，是否存在某位置，使得
？，若存在，求出所有可能的旋轉角的大小；若不存在，請說明理由；
3.（3）在圖①中，若將△BEF繞點B順時針旋轉（00<<900），如圖③，取AE的中點P，連接BP、CF，求證：BP=CF且BP⊥CF．
（本小題滿分6分）
如圖，在8×11的方格紙中，每個小正方形的邊長均為1，△ABC的頂點均在小正方形的頂點處．
1.（1）畫出△ABC繞點Ａ順時針方向旋轉90°得到的△
；
2.（2）求點B運動到點B′所經過的路徑的長．
（本小題滿分12分）
如圖甲，在△ABC中，∠ACB為銳角．點D為射線BC上一動點，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側作正方形ADEF．
（1）如果AB=AC，∠BAC=90º．
解答下列問題：
①當點D在線段BC上時（與點B不重合），如圖甲，線段CF、BD之間的位置關系為 ，數量關系為 ．
②當點D在線段BC的延長線上時，如圖乙，①中的結論是否仍然成立，為什么？（要求寫出證明過程）
（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°，點D在線段BC上運動．且∠BCA=45°時，如圖丙請你判斷線段CF、BD之間的位置關系，并說明理由（要求寫出證明過程）．
一、選擇題（本題有12小題，共48分）
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
B
A
C
D
A
B
A
C
B
D
二、填空題（本大題為選做題，在8小題中做對6小題即得滿分30分，多做答錯不扣分）
13． 2 14． 15． 16．答案不唯一，比如等
17．70° 18．10、30 19．1476.5 20． +、1
三、解答題（本題有7小題，共72分）
說明：本參考答案中除25、27題外每題只給出了一種解答，對于其他解答，只要解法正確，參照本評分建議給分。
21． 解：原方程變形得：， ………………………………2分
. ……………………………………………4分
∴ 方程的根為：、 、 . …………………………8分
22．（1）∠ABC= 135 °, ………………………………………………………2分
BC=； …………………………………………………………4分
（2）能判斷△ABC與△DEF相似（或△ABC∽△DEF） ………………5分
這是因為∠ABC =∠DEF = 135 ° ,，
∴△ABC∽△DEF. …………………………………………8分
23． (1) 在這組數據中,中位數是30.0 , ……………………………………2分
眾數是30.0 , …………………………………………………4分
平均數是32.0 ； ……………………………………6分
(若填為30、30、32，均暫不扣分)
(2) 憑經驗，大廈高約30.0 .（單位未寫暫不扣分） …………………7分
只要說得有理就給1分，比如數據44.0誤差太大，或測量錯誤不可信等等.8分
24． 解：在R t△BCD中，∵ BD=5, ∴ BC=5= 4.1955≈4.20. ……4分
在R t△BCD中，BE=BC+CE= 6.20, …………………………………5分
∴ DE= ……………………………………………6分
==
≈7.96 ……………………………………………………………9分
答：BC的長度約為4.20,鋼纜ED的長度約7.96. …………………10分
（若BC=4.1955暫不扣分，但是ED的長度未保留三個有效數字扣1分)
25． 解：(1) 由已知，矩形的另一邊長為 ………………………………1分
則= ……………………………………………………3分
= ……………………………………………………………5分
自變量的取值范圍是0＜＜18. ……………………7分
（2）∵ == …………………………………10分
∴ 當=9時（0＜9＜18)，苗圃的面積最大 ……………………11分
最大面積是81 ………………………………………………12分
又解: ∵ =－1＜0，有最大值， …………………………8分
∴ 當 =時（0＜9＜18)， ………………………10分
（） ……………………………12分
（未指出0＜9＜18暫不扣分）
26． 解：(1) ……………………………1分
； ………………………3分
又 ， ……………………………………4分
∴ . …6分
⑵…8分
………………10分
……………………………………11分
∴ …12分
（說明：若在整個推導過程中，始終帶根號運算當然也正確。）
27．解： ⑴ C（5，-4）；(過程1分，縱、橫坐標答對各得1分) ………… 3分
⑵ 能 ……………………………………………………………4分
連結AE ，∵BE是⊙O的直徑， ∴∠BAE=90°. ………5分
在△ABE與△PBA中，AB2＝BP? BE , 即, 又∠ABE=∠PBA,
∴△ABE∽△PBA . …………………………………7分
∴∠BPA=∠BAE=90°, 即AP⊥BE . …………………8分
⑶ 分析：假設在直線EB上存在點Q，使AQ2＝BQ? EQ. Q點位置有三種情況：
①若三條線段有兩條等長，則三條均等長,于是容易知點C即點Q；
②若無兩條等長，且點Q在線段EB上，由Rt△EBA中的射影定理知點Q即為AQ⊥EB之垂足；
③若無兩條等長，且當點Q在線段EB外，由條件想到切割線定理，知QA切⊙C于點A.設Q(),并過點Q作QR⊥x軸于點R,由相似三角形性質、切割線定理、勾股定理、三角函數或直線解析式等可得多種解法.
解題過程：
① 當點Q1與C重合時，AQ1=Q1B=Q1E, 顯然有AQ12＝BQ1? EQ1 ,
∴Q1(5, -4)符合題意； ………………………………9分
② 當Q2點在線段EB上， ∵△ABE中，∠BAE=90°
∴點Q2為AQ2在BE上的垂足， ………………………10分
∴AQ2== 4.8（或）.
∴Q2點的橫坐標是2+ AQ2?∠BAQ2= 2+3.84=5.84,
又由AQ2?∠BAQ2=2.88,
∴點Q2（5.84，-2.88）, …………11分
③方法一：若符合題意的點Q3在線段EB外,
則可得點Q3為過點A的⊙C的切線與直線BE在第一象限的交點.
由Rt△Q3BR∽Rt△EBA，△EBA的三邊長分別為6、8、10,
故不妨設BR=3t，RQ3=4t，BQ3=5t, …………………………12分
由Rt△ARQ3∽Rt△EAB得， ………………………13分
即得t=，
〖注:此處也可由列得方程； 或由AQ32 = Q3B?Q3E=Q3R2+AR2列得方程)等等〗
∴Q3點的橫坐標為8+3t=， Q3點的縱坐標為，
即Q3（，） . ……………………14分
方法二：如上所設與添輔助線, 直線 BE過B(8, 0), C(5, -4),
∴直線BE的解析式是. ……………12分
設Q3（，）,過點Q3作Q3R⊥x軸于點R,
∵易證∠Q3AR =∠AEB得 Rt△AQ3R∽Rt△EAB,
∴, 即 , ………………13分
∴t=,進而點Q3 的縱坐標為，∴Q3（，）. ………14分
方法三：若符合題意的點Q3在線段EB外,連結Q3A并延長交軸于F,
∴∠Q3AB =∠Q3EA，,
在R t△OAF中有OF=2×=，點F的坐標為（0，）,
∴可得直線AF的解析式為, ………………12分
又直線BE的解析式是, ………………13分
∴可得交點Q3（，）. ………………………14分
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