題目列表(包括答案和解析)
一、選擇題
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
B
C
C
B
A
B
D
A
D
D
C
1．已知集合P={x∈N|1≤x≤10}={1，2，3，……，10}，集合Q={x∈R | x2+x－6=0} =
， 所以P∩Q等于{2} ，選A．
2．函數(shù)f(x)= (x∈R)，∴ 
，所以原函數(shù)的值域是(0，1] ，選B.
3．
已知等差數(shù)列{an}中，a2+a8=8，∴ 
，則該數(shù)列前9項和S9=
=36，選C.
4．函數(shù)f(x)=loga(x+b)(a>0，a≠1)的圖象過點(0，0)，其反函數(shù)的圖象過點(1，2)，
則
，∴
，a=3，則a+b等于4，選C.
5．直線過點(0，a)，其斜率為1，
且與圓x2+y2=2相切，設(shè)直線方程為
，圓心(0，0)道直線的距離等于半徑
，∴ 
，∴ a 的值±2，選B．
6．若等式sin(α+γ)=sin2β成立，則α+γ=kπ+(－1)k?2β，此時α、β、γ不一定成等差數(shù)列，若α、β、γ成等差數(shù)列，則2β=α+γ，等式sin(α+γ)=sin2β成立，所以“等式sin(α+γ)=sin2β成立”是“α、β、γ成等差數(shù)列”的．必要而不充分條件。選A．
7．x，y為正數(shù)，(x+y)(
)≥
≥9，選B.
8．已知非零向量與滿足(
)?=0，即角A的平分線垂直于BC，∴ AB=AC，又
= ，∠A=
，所以△ABC為等邊三角形，選D．
9．已知函數(shù)f(x)=ax2+2ax+4(a>0)，二次函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為
，a>0，∴ x1+x2=0，x1與x2的中點為0，x1<x2，∴ x2到對稱軸的距離大于x1到對稱軸的距離，∴ f(x1)<f(x2) ，選A．
10．已知雙曲線
(a>)的兩條漸近線的夾角為，則
，∴ a2=6，雙曲線的離心率為 ，選D．
11．已知平面α外不共線的三點A、B、C到α的距離都相等，則可能三點在α的同側(cè)，即．平面ABC平行于α，這時三條中位線都平行于平面α；也可能一個點A在平面一側(cè)，另兩點B、C在平面另一側(cè)，則存在一條中位線DE//BC，DE在α內(nèi)，所以選D．
12．為確保信息安全，信息需加密傳輸，發(fā)送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密規(guī)則為:明文a，b，c，d對應(yīng)密文a+2b，2b+c，
則
，解得
，解密得到的明文為C．
二、填空題
13．－ 14．60 15．1320 16．3R
13．cos43°cos77°+sin43°cos167°=
=－
．
14．(2x－)6展開式中常數(shù)項
.
15．某校從8名教師中選派4名教師同時去4個邊遠(yuǎn)地區(qū)支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，可以分情況討論，① 甲去，則乙不去，有
=480種選法；②甲不去，乙去，有=480種選法；③甲、乙都不去，有
=360種選法；共有1320種不同的選派方案．
16．水平桌面α上放有4個半徑均為2R的球，且相鄰的球都相切(球心的連線構(gòu)成正方形)．在這4個球的上面放1個半徑為R的小球，它和下面4個球恰好都相切，5個球心組成一個正四棱錐，這個正四棱錐的底面邊長為4R，側(cè)棱長為3R，求得它的高為R，所以小球的球心到水平桌面α的距離是3R．
三、解答題
17．解: (Ⅰ)記"甲投進(jìn)"為事件A1 ， "乙投進(jìn)"為事件A2 ， "丙投進(jìn)"為事件A3，
則 P(A1)= ， P(A2)= ， P(A3)= ，
∴ P(A
∴3人都投進(jìn)的概率為
(Ⅱ) 設(shè)“3人中恰有2人投進(jìn)"為事件B
P(B)=P(A
=P()?P(A2)?P(A3)+P(A1)?P()?P(A3)+P(A1)?P(A2)?P()
=(1－)× × + ×(1－)× + × ×(1－) =
∴3人中恰有2人投進(jìn)的概率為
18．解:(Ⅰ) f(x)=sin(2x－)+1－cos2(x－)
= 2[sin2(x－)－ cos2(x－)]+1
=2sin[2(x－)－]+1
= 2sin(2x－) +1
∴ T==π
(Ⅱ)當(dāng)f(x)取最大值時， sin(2x－)=1，有 2x－ =2kπ+
即x=kπ+ (k∈Z) ∴所求x的集合為{x∈R|x= kπ+ ， (k∈Z)}．
19．解法一: (Ⅰ)如圖， 連接A1B，AB1， ∵α⊥β， α∩β=l ,AA1⊥l， BB1⊥l，
∴AA1⊥β， BB1⊥α． 則∠BAB1，∠ABA1分別是AB與α和β所成的角．
Rt△BB1A中， BB1= ， AB=2， ∴sin∠BAB1 = = ． ∴∠BAB1=45°．
Rt△AA1B中， AA1=1，AB=2， sin∠ABA1= = ， ∴∠ABA1= 30°．
故AB與平面α，β所成的角分別是45°，30°．
(Ⅱ) ∵BB1⊥α， ∴平面ABB1⊥α．在平面α內(nèi)過A1作A1E⊥AB1交AB1于E，則A1E⊥平面AB1B．過E作EF⊥AB交AB于F，連接A1F，則由三垂線定理得A1F⊥AB， ∴∠A1FE就是所求二面角的平面角．
在Rt△ABB1中，∠BAB1=45°，∴AB1=B1B=． ∴Rt△AA1B中，A1B== = ． 由AA1?A1B=A1F?AB得 A1F== = ，
∴在Rt△A1EF中，sin∠A1FE = = ， ∴二面角A1－AB－B1的大小為arcsin．
解法二: (Ⅰ)同解法一．
(Ⅱ) 如圖，建立坐標(biāo)系， 則A1(0，0，0)，A(0，0，1)，B1(0，1，0)，B(，1，0)．在AB上取一點F(x，y，z)，則存在t∈R，使得=t ， 即(x，y，z－1)=t(，1，－1)， ∴點F的坐標(biāo)為(t， t，1－t)．要使⊥，須?=0， 即(t， t，1－t) ?(，1，－1)=0， 2t+t－(1－t)=0，解得t= ， ∴點F的坐標(biāo)為(，－， )， ∴=(，， )． 設(shè)E為AB1的中點，則點E的坐標(biāo)為(0，， )． ∴=(，－，)．
又?=(，－，)?(，1，－1)= － － =0， ∴⊥， ∴∠A1FE為所求二面角的平面角．
又cos∠A1FE= = = = = ，
∴二面角A1－AB－B1的大小為arccos．
20．解: ∵10Sn=an2+5an+6， ① ∴10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3．
又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2)，②
由①－②得 10an=(an2－an－12)+6(an－an－1)，即(an+an－1)(an－an－1－5)=0
∵an+an－1>0 ， ∴an－an－1=5 (n≥2)．
當(dāng)a1=3時，a3=13，a15=73． a1， a3，a15不成等比數(shù)列∴a1≠3;
當(dāng)a1=2時，a3=12， a15=72， 有a32=a1a15 ， ∴a1=2， ∴an=5n－3．
21．解法一: 如圖， (Ⅰ)設(shè)D(x0，y0)，E(xE，yE)，M(x，y)．由=t， = t ，
知(xD－2，yD－1)=t(－2，－2)． ∴ 同理 ．
∴kDE = = = 1－2t． ∴t∈[0，1] ， ∴kDE∈[－1，1]．
(Ⅱ) ∵=t ∴(x+2t－2，y+2t－1)=t(－2t+2t－2，2t－1+2t－1)=t(－2，4t－2)=(－2t，4t2－2t)． ∴ ， ∴y= ， 即x2=4y． ∵t∈[0，1]， x=2(1－2t)∈[－2，2]．
即所求軌跡方程為: x2=4y， x∈[－2，2]
解法二: (Ⅰ)同上．
(Ⅱ) 如圖， =+ = + t
= + t(－) = (1－t) +t，
= + = +t = +t(－) =(1－t) +t，
= += + t= +t(－)=(1－t) + t
= (1－t2) + 2(1－t)t+t2 ．
設(shè)M點的坐標(biāo)為(x，y)，由=(2，1)， =(0，－1)， =(－2，1)得
消去t得x2=4y， ∵t∈[0，1]， x∈[－2，2]．
故所求軌跡方程為: x2=4y， x∈[－2，2]
22．解: （I）當(dāng)k=0時， f(x)=－3x2+1 ∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(－∞，0]，單調(diào)減區(qū)間[0，+∞)．
當(dāng)k>0時 ， f '(x)=3kx2－6x=3kx(x－)
∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(－∞，0] ， [ ， +∞)， 單調(diào)減區(qū)間為[0， ]．
（II）當(dāng)k=0時， 函數(shù)f(x)不存在最小值．
當(dāng)k>0時， 依題意 f()= － +1>0 ，
即k2>4 ， 由條件k>0， 所以k的取值范圍為(2，+∞)
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