福建師大附中2006年高考熱身模擬考試
數學(理)試卷
2006.5
（滿分：150分，時間120分鐘）
說明：請將答案填寫在答卷紙上，考試結束后只交答案卷。
YCY
一、選擇題（每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求）
1．已知復數是純虛數，則的值為 （ ）
A．1 B．－1 C．－ D．i
2．的 （ ）
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件
C．充要條件 D．既非充分又非必要條件
3．若函數，則 （ ）
A．4 B．－4 C．1 D．－1
4．在等差數列中，，則的值是 （ ）
A．24 B．48 C．96 D．無法確定
5．已知直線與圓相切，則直線l的傾斜角為 （ ）
A． B． C． D．
那么可寫成（ ）
A． B．
C． D．
7．某校需要在5名男生和5名女生中選出4人參加一項文化交流活動，由于工作需要，男
生甲與男生乙至少有一人參加活動，女生丙必須參加活動，則不同的選人方式有（ ）
A．56種 B．49種 C．42種 D．14種
8．已知△ABC的三個頂點在同一球面上，∠BAC=90°，AB=AC=2. 若球心O到平面ABC
的距離為1，英才苑則該球的半徑為 （ ）
A．1 B． C． D．2
9．已知m、n、l為直線，α、β、γ為平面，有下列四個命題
①若； ②
③； ④
其中正確命題的個數是 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．已知F1、F2是雙曲線的兩個焦點，P是該曲線上的一點，PF1垂直于x軸，則|PF2|的值為 （ ）
A． B． C． D．
11．一種產品的年產量第一年為件，第二年比第一年增長，第三年比第二年增長，且，如果年平均增長m%，則有 （ ）
A．m=p B．m≤p C．m≥p D．m<p
12．設恒成立，則實數m的取值范圍是 （ ）
A．（0，1） B．（－∞，0） C．（－∞，） D．（－∞，1）
二、填空題：（本大題4小題，每小題4分，共16分. 把答案填在題中橫線上）
14．已知的展開式中，所有項的系數之和等于81，那么這個展開式中的系數是
.
15．已知x、y滿足約束條件，則的最小值為 .
16．設函數若，則關于x的方程的解的個數為 .
三、解答題：（本大題共六個小題，滿分74分）
17．（本題滿分12分）
在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且cosA=
（1）求的值；
（2）若，求∠C和△ABC的面積.
18．（本小題滿分12分）
某校的一個研究性學習小組進行一種驗證性實驗；已知該種實驗每次實驗成功的概率為.
（1）求他們做了5次這種實驗至少有2次成功的概率；
（2）如果在若干次實驗中累計有兩次成功就停止實驗，否則將繼續進行下次實驗，但實驗的總次數最多不超過5次，英才苑求該小組所做實驗的次數ξ的概率分布列和期望.
如圖，邊長為2的等邊△PCD所在的平面垂直于
矩形ABCD所在的平面，BC=，M為BC的中點，
（1）證明：AM⊥PM；
（2）求二面角P―AM―D的大小；
（3）求點D到平面AMP的距離.
20．（本小題滿分12分）
已知函數
（1）求的單調區間；
（2）當a=1時，求在[1，3]上的最大值和最小值.
21．（本小題滿分12分）
已知點列在直線上，P1為直線軸的交點，等差數列的公差為1 .
（1）求、的通項公式；
（2）；
（3）若，試證數列為等比數列；并求
的通項公式.
22．（本小題滿分14分）
已知橢圓C的中心在原點，焦點在軸上，一條經過點（3，）且方向向量為的直線l交橢圓C于、兩點，交于軸于Q點，又
（1）求直線l方程和的值；
（2）若橢圓C的離心率為，求橢圓C的方程；
（3）求橢圓C長軸長取值范圍.
一、1．B 2．B 3．D 4．B 5．D 6．A 7．B 8．C 9．B 10．B 11．B 12．D
二、13． 14．32 15．162 16．3
三、17．解：（1）
（2）
，
18．解：（1）設5次實驗中只成功一次為事件A，一次都不成功為事件B，
則P（5次實驗至少2次成功）=1－P（A）－P（B）=1－
（法2：所求概率為）
（2）ξ的可能取值為2、3、4、5
又
19．解法1：（1）取CD的中點E，連結PE、EM、EA
∵△PCD為正三角形 ∴PE⊥CD，PE=PDsin∠PDE=2sin60°=
∵平面PCD⊥平面ABCD ∴PE⊥平面ABCD
∵四邊形ABCD是矩形 ∴△ADE、△ECM、△ABM均為直角三角形
由勾股定理可求得EM=，AM=，AE=3 ∴EM2+AM2=AE2
∴∠AME=90° ∴AM⊥PM
（2）由（1）可知EM⊥AM，PM⊥AM ∴∠PME是二面角P―AM―D的平面角
∴tan∠PME= ∴∠PMA=45° ∴二面角P―AM―D為45°
（3）設D點到平面PAM的距離為d，連結DM，則
在Rt△PEM中，由勾股定理可求得PM=，，
解法2：（1）以D點為原點，
分別以直線DA、DC
為x軸、y軸，建立
如圖所示的空間直角
坐標系D―xyz，
依題意，可得D（0，0，0），P（0，1，），C（0，2，0），A（2，0，0），
M（，2，0），
即，∴AM⊥PM.
（2）設平面PAM，則
取y=1，得 顯然平面ABCD
.
結合圖形可知，二面角P―AM―D為45°；
（3）設點D到平面PAM的距離為d，由（2）可知）與平面PAM垂直，
則
即點D到平面PAM的距離為
20．解：（1）
①當時 由
解得：定義域為（0，+∞）
∴函數的單調遞增區間為（
由可知的單調遞增區間為
②當時 同理可得：函數的單調遞增區間為
函數的單調遞減區間為
（2）當時，
令
當上單調遞增
當上單調遞減
又在[1，3]上連續 為函數的極大值.
又
是函數在[1，3]上的最小值，
為在[1，3]的最大值.
21．解：（1）在直線
∵P1為直線l與y軸的交點，∴P1（0，1） ，
又數列的公差為1
（2）
（3）
是以2為公比，4為首項的等比數列，
22．解：（1）直線l過點（3，）且方向向量為）
∴l方程為 化簡為：
∵直線和橢圓交于兩點和x軸交于M（1，0）
又
即
（2） ∴橢圓C方程為
由
∴橢圓C方程為：
（3）將中得 ①
由韋達定理知：
由②2/③知：………④
對方程①求判別式，且由 即
化簡為：………………⑤
由④式代入⑤式可知：，求得，
又橢圓的焦點在x軸上，則，
由④知：，結合，求得
因此所求橢圓長軸長2a范圍為（2，）.
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