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連云港市2006屆高三第三次調(diào)研考試

數(shù)學(xué)

一、選擇題：

1．不等式的解集是　　　（）

試題詳情

A．　　 B．　　　　　C．　　　　 D．

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2．已知函數(shù)，是函數(shù)的反函數(shù)，若的圖象過點，則的值為　（）

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A．　　　 B．　　　　　　C．4　　　 D．8

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3．過原點的直線與圓相切，若切點在第二象限，則該直線的方程是( ) 　　　　　　　

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　　A．　　　B．　　　C．　　 D．

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4．已知點,,,．給出下面的結(jié)論：①；②；③；④. 其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A．1個　　　 B．2個　　　 C．3個　　　 D． 4個

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5．已知N*)的展開式中含有常數(shù)項，則的最小值是（　）

　　Ａ．4　Ｂ．5　　Ｃ．9　Ｄ．10

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6．某單位準(zhǔn)備用不同花色的裝飾石材分別裝飾辦公樓中的辦公室、走廊、大廳的地面及樓的外墻．現(xiàn)有編號為1～6的6種不同花色石材可供選擇，其中1號石材有微量的放射性，不可用于辦公室內(nèi)，則不同的裝飾效果共有　（　）

　A．350種　 B．300種　 C．65種　　 D．50種

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7．若是兩條不重合的直線，是兩個不重合的平面，則∥的一個充分而不必要條件是（）

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A．∥,且∥ 　 B．且∥

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C．,,且∥ 　 D．∥∥,且∥

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8．某電視機(jī)內(nèi)的一種晶體管使用時間在10000小時以上的概率為，則三個這樣的晶體管在使用10000小時后最多有一個壞了的概率為　　（）

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A．0.014 　　　 B．0.104 C．0.410　　　　　 D．0.401

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9．已知數(shù)列中，，對一切正整數(shù)n恒有，則的值為（）

A．8 　　　　B．10 C．20　　　　　D．38

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10．若方程在上有解，則實數(shù)的取值范圍是（）

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A．　　　B． C．　　 D．∪

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二、填空題：

11．若曲線在點處的切線與直線平行，則點的坐標(biāo)是．

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12．已知實數(shù)滿足不等式組，那么函數(shù)的最大值是　　　　　．

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13．已知，且，那么．

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14．橢圓的半焦距為，直線與橢圓的一個交點的橫坐標(biāo)恰為，則該橢圓的離心率為　　　．

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15．三棱錐中，平面ABC，，若，則該三棱錐外接球的體積是　　　　　　　．

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16．若函數(shù)是二次函數(shù)且滿足：對任意的，都有成立．則可以是　　　　　　　（只需寫出一個即可）．

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三、解答題：

17．（本小題12分）

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已知中，角A, B, C所對的邊分別為，且．

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（1）若角為，求的值；

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（2）若，求的值．

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18．（本小題14分）

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已知兩個定點A、B的坐標(biāo)分別為和，動點滿足（O為坐標(biāo)原點）．

（1）求動點P的軌跡E的方程；

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（2）過點C的直線與軌跡E在x軸上方部分交于M、N兩點，線段MN的垂直平分線與x軸交于D點，求D點橫坐標(biāo)的取值范圍．

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19．（本小題14分）

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如圖，已知是正三棱柱，它的底面邊長和側(cè)棱長都是2，D為側(cè)棱的中點，為的中點．

（1）求證：；

（2）求直線到平面的距離；

（3）求二面角的大小．

20．（本小題14分）

關(guān)于某港口今后20年的發(fā)展規(guī)劃，有如下兩種方案：

方案甲：按現(xiàn)狀進(jìn)行運營。據(jù)測算，每年可收入760萬元，但由于港口淤積日益嚴(yán)重，從明年開始需投資進(jìn)行清淤，第一年投資50萬元，以后逐年遞增20萬元。

方案乙：從明年起開始投資6000萬元進(jìn)行港口改造，以徹底根治港口淤積并提高吞吐能力。港口改造需用時4年，在此期間邊改造邊運營．據(jù)測算，開始改造后港口第一年的收入為320萬元，在以后的4年中，每年收入都比上一年增長50%，而后各年的收入都穩(wěn)定在第5年的水平上。

（1）從明年開始至少經(jīng)過多少年，方案乙能收回投資（累計總收益為正數(shù)）？

（2）從明年開始至少經(jīng)過多少年，方案乙的累計總收益超過方案甲？

（收益＝收入－投資）

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21．（本小題16分）

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已知函數(shù)的定義域為，且同時滿足：①；②恒成立；③若，則有．

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（1）試求函數(shù)的最大值和最小值；

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（2）試比較與的大小N）；

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（3）某人發(fā)現(xiàn)：當(dāng)x=(nÎN)時，有f(x)<2x+2.由此他提出猜想：對一切xÎ(0,1,都有，請你判斷此猜想是否正確，并說明理由．

連云港市2006屆高三第三次調(diào)研考試

試題詳情

一、選擇題

BCDC BBCB AA

二、填空題

11．（-1，0）；12．4；13．-4；14．-1；15．；16．x²(注：本題答案不唯一，只要滿足條件 a¹0,2|a|+|b|≤1即可)

三、解答題

17．解：由條件知20cos²A=3?,即10cos²A?sinA=3cosA,又cot¹tan,∴cosA¹0,

解得sin2A=. ?????????????????????????????????????????????????????????4分

(1) 若∠C=60º,則cos2B=cos2(120º-A)=cos(240º-2A)=-cos(60º-2A)=-(cos60ºcos2A+sin60ºsin2A)

=-. ??????????????????????????????????????????????????????????????7分

(2) 若a<b<c,則A<60º.又由sin2A=<,知0<2A<60º或2A>120º.∴A<30º.???????????????11分

∵(sinA-cosA)²=1-sin2A=,∴sinA-cosA=-.???????????????????????????????????????????????????????12分

18．解:(1)設(shè)P(x,y),則=(x+1,y),=(x-1,y),

∵,∴(x+1)²=(x-1)²+y²,????????????????????????????????????????????????????????????????????????2分

即y²=4x.

動點P的軌跡E的方程是y²=4x. ???????????????????????????????????????????????????????????????????????4分

(2)設(shè)直線l的方程為x=k(y-1),代入軌跡E的方程y²=4x,整理得:y²-4ky+4k=0. ?????????6分

由題意知,(4k)²-4´4k>0且4k>0,解得k>1. ???????????????????????????????????????????????????????????8分

由根與系數(shù)的關(guān)系可得MN的中點坐標(biāo)為(k(2k-1),2k),

∴線段MN垂直平分線方程為:y-2k=-k[x-k(2k-1)], ?????????????????????????????????10分

令y=0,得D點的橫坐標(biāo)x₀=2k²-k+2,

∵k>1,∴x₀>3,即為所求. ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????14分

19．(1)證明:連結(jié)C₁E,則C₁E^A₁B₁,

又∵A₁B₁^C₁C,∴A₁B₁^平面EDC₁,∴A₁B₁^DE,

而A₁B₁//AB,∴AB^DE. ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????4分

(2)取AB中點為F,連結(jié)EF,DF,則EF^AB,∴AB^DF.

過E作直線EH^DF于H點,則EH^平面DAB,∴EH就是直線A₁B₁到平面DAB的距離.

在矩形C₁EFC中,∵AA₁=AB=2,∴EF=2,C₁E=,DF=2,

∴在△DEF中,EH=,

故直線A₁B₁到平面DAB的距離為. ???????????????????????????????????????????????????????????9分

(3)過A作AM^BC于M點,則AM^平面CDB,

過M作MN^BD于N點,連結(jié)AN,則AN^BD,∴∠ANM即為所求二面角的平面角,

在Rt△DCB中,BC=2,DC=1,M為BC中點,∴MN=,

在Rt△AMN中,tan∠ANM=,

故二面角A-BD-C的大小為arctan. ???????????????????????????????????????????????????????????????14分

20．解：（1）設(shè)從明年開始經(jīng)過第n年，方案乙的累計總收益為正數(shù)。

在方案乙中，前4年的總收入為

=2600<6000, ?????????????????????????????????????????1分

故n必定不小于5，則由

2600+320´1.5⁴(n-4)>6000， ?????????????????????????????????????4分

解得 n>6,故n的最小值為7，

答: 從明年開始至少經(jīng)過7年，方案乙能收回投資。 ????????????????????????????????????????????6分

（2）設(shè)從明年開始經(jīng)過n年方案甲與方案乙的累計總收益分別為y₁,y₂萬元，則

y₁=760n-[50n+n(n-1)?20]=-10n²+720n, ???????????????????????????????????????????????????????????????8分

當(dāng)n≤4時，則y₁>0,y₂<0,可得y₁>y₂. ???????????????????????????????????????????????????????????9分

當(dāng)n³5時，y₂=2600+320´1.5⁴(n-4)-6000=1620n-9880，

令y₁<y₂,可得1620n-9880>-10n²+720n,

即 n(n+90)>998, ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????12分

由10(10+90)>998,9(9+90)<998,可得n的最小值為10.

答：從明年開始至少經(jīng)過10年，方案乙的累計總收益超過方案甲。 ??????????????????14分

21．解: (1)設(shè)0≤x₁<x₂≤1,則必存在實數(shù)tÎ(0,1),使得x₂=x₁+t,

由條件③得,f(x₂)=f(x₁+t)³f(x₁)+f(t)-2,

∴f(x₂)-f(x₁)³f(t)-2,

由條件②得, f(x₂)-f(x₁)³0,

故當(dāng)0≤x≤1時,有f(0)≤f(x)≤f(1). ????????????????????????????????????????????????????????????3分

又在條件③中,令x₁=0,x₂=1,得f(1)³f(1)+f(0)-2,即f(0)≤2,∴f(0)=2, ??????????????????????????????5分

故函數(shù)f(x)的最大值為3,最小值為2. ???????????????????????????????????6分

(2)解:在條件③中,令x₁=x₂=,得f()³2f()-2,即f()-2≤[f()-2], ????????????????????????????9分

故當(dāng)nÎN*時，有f()-2≤[f()-2]≤[f()-2]≤???≤[f()-2]=,

即f()≤+2.

又f()=f(1)=3≤2+,

所以對一切nÎN,都有f()≤+2. ???????????????????????????????????????????????12分

(3)對一切xÎ(0,1,都有.

對任意滿足xÎ(0,1，總存在n(nÎN),使得

<x≤, ????????????????????????????????????????????????????????????????????????14分

根據(jù)（1）（2）結(jié)論，可知：

f(x)≤f()≤+2,

且2x+2>2´+2=+2,

故有.

綜上所述，對任意xÎ(0,1,恒成立. ?????????????????????????????????????????????16分

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