絕密★啟用前
2006 年普通高等學校招生全國統一考試
數 學（理工類） （北京卷）
本試卷分第 I卷（選擇題）和第 II卷（非選擇題）兩部分，第 I卷 1 至2 頁,第 II卷 3 至 9 頁，
共 150 分。考試時間 120 分鐘。考試結束。將本試卷和答題卡一并交回。
第 I 卷（選擇題共 40 分）
注意事項：
1． 答第 I卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考試科目寫在答題卡上。
2．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮
擦干凈后，再選涂其他答案標號。不能答在試卷上。
一、本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求 的一項。
1．用鋼筆或圓珠筆將答案直接寫在試卷上。
2．答卷前將密封線內的項目填寫清楚。
案填在題中橫線上。
(9）的值等于.
(10）在的展開式中, 的系數是.（用數字作答）
(11）若三點 A（2，2），B（a，0），C（0，b）（0 ,b）(ab0)共線，則,
的值等于
二、填空題：本大題共 6 小題，每小 題 5 分，共 30 分。把答
(12）在△ABC 中，若 C B A sin A: sinB: sinC =5:7:8. 則∠B 的大小是
(13）已知點 P（x，y）的坐標滿足條件點O為坐標原點，那么|PO |的最小值
等于,最大值等于.
（14）已知A、B、C三點在球心為 O，半徑為R 的球面上，AC⊥BC，且 AB=R，那么 A、B 兩點間的球面距離為 球心到平面 ABC 的距離為.
（15）（本小題共 12 分）
已知函數.
（Ⅰ）求的定義域；
（Ⅱ）設的第四象限的角，且，求的值
（16）（本小題共 13 分）
已知函數在點處取得極大值5，其導函數
的圖象經過點（1，0），（2，0），如圖所示，求：
（Ⅰ）的值； （Ⅱ）a，b，c 的值.
(17）（本小題共 14 分）
如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐 P―ABCD 中，AB⊥AC，PA⊥平面 ABCD，且
PA=PB，點 E 是 PD 的中點.
（Ⅰ）求證：AC⊥PB；
（Ⅱ）求證：PB//平面 AEC；
（Ⅲ）求二面角 E―AC―B 的大小.
（18）（本小題共 13 分）
某公司招聘員工，指定三門考試課程，有兩種考試方案.
方案一：考試三門課程，至少有兩門及格為考試通過；
方案二：在三門課程中，隨機選取兩門，這兩門都及格為考試通過.
假設某應聘者對三門指定課程考試及格的概率分別是 a，b，c，且三門課程考
試是否及格相互之間沒有影響. 求：
（Ⅰ）分別求該應聘者用方案一和方案二時考試通過的概率；
（Ⅱ）試比較該應聘者在上述兩種方案下考試通過的概率的大小.（說明理由）
（19）（本小題共 14 分）
已知點 M（－2，0），N（2，0），動點 P滿足條件|PM |－|PN |=，記動點 P的軌
跡為 W.
（Ⅰ）求 W 的方程；
（Ⅱ）若 A，B 是W上的不同兩點，O 是坐標原點，求
、的最小值.
（20）（本小題共 14 分）
在數列中，若 a1，a2 是正整數，且,3，4，5，…，則稱
為“絕對差數列”.
（Ⅰ）舉出一個前五項不為零的“絕對差數列”（只要求寫出前十項）；
（Ⅱ）若“絕對差數列”中，,，數列滿足
n=1，2，3，…，分雖判斷當時, 與的極限是否存在，如果存在，求出其極
限值；
（Ⅲ）證明：任何“絕對差數列”中總含有無窮多個為零的項.
一、選擇題（本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分）
（1）D （2）C （3）B （4）A
（5）C （6）A （7）D （8）C
二、填空題（本大題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分）
（9） （10）－14 （11） （12）
（13） （14）
三、解答題（本大題共 6 小題，共 80 分）
（15）（共 12 分）
解：（Ⅰ）由 得，
故在定義域為
（Ⅱ）因為，且是第四象限的角,
所以
故
.
（16）（共 13 分）
解法一：
（Ⅰ）由圖象可知，在（－∞，1）上,在(1,2)上,在上, 故在,上遞增,在(1,2)上遞減,因此在處取得極大值,所以.
(Ⅱ)
由
得
解得
解法二:
(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)設
又
所以
由,
即
得,
所以.
（17）（共 17 分）
解法一：
（Ⅰ）∵PA⊥平面 ABCD，
∴AB 是 PB 在平面 ABCD 上的射影.
又∵AB⊥AC，AC平面ABCD，
∴AC⊥PB.
（Ⅱ）連接BD，與 AC 相交于 O，連接 EO.
∵ABCD 是平行四邊形，
∴O 是 BD 的中點
又 E 是 PD 的中點
∴EO∥PB.
又 PB平面 AEC，EO平面 AEC，
∴PB∥平面 AEC.
（Ⅲ）取 BC 中點 G，連接 OG，則點 G 的坐標為,=.
又
是二面角的平面角
二面角E-AC-B的大小為.
（18）（共 13 分）
解：記該應聘者對三門指定課程考試及格的事件分別為 A，B，C，
則
（Ⅰ）應聘者用方案一考試通過的概率
應聘者用方案二考試通過的概率
.
（Ⅱ）因為,所以
故,
即采用第一種方案,該應聘者考試通過的概率較大.
(19）（共 14 分）
解法一：
（Ⅰ）由|PM|－|PN|=知動點 P 的軌跡是以 為焦點的雙曲線的右支，實
半軸長
又半焦距 c=2，故虛半軸長
所以 W 的方程為,
（Ⅱ）設 A，B 的坐標分別為,
當 AB⊥x軸時,從而從而
當AB與x軸不垂直時,設直線AB的方程為,與W的方程聯立,消去y得
故
所以
.
又因為,所以,從而
綜上,當AB⊥軸時, 取得最小值2.
解法二:
(Ⅰ）同解法一.
（Ⅱ）設 A，B 的坐標分別為，則, ,則
令
則且所以
當且僅當,即時””成立.
所以、的最小值是2.
（20）（共 14 分）
（Ⅰ）解：,（答案不惟一）
（Ⅱ）解：因為在絕對差數列中,.所以自第 20 項開始，該數列是,,
即自第 20 項開始。每三個相鄰的項周期地取值 3，0，3. 所以當時，的極限
不存在.
當時, ,所以
（Ⅲ）證明：根據定義，數列必在有限項后出現零項.證明如下
假設中沒有零項，由于,所以對于任意的n，都有,從而
當時, ;
當
時,
即的值要么比至少小1，要么比至少小1.
令
則
由于是確定的正整數，這樣減少下去，必然存在某項
，這與()
矛盾. 從而必有零項.
若第一次出現的零項為第項，記，則自第項開始，每三個相鄰的項周期地取值 0，, , 即
所以絕對差數列中有無窮多個為零的項.
絕密★啟用前
2006年普通高等學校招生全國統一考試
數 學（理工農醫類）（北京卷）（編輯：ahuazi）
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3至9頁，共150分。考試時間120分鐘。考試結束，將本試卷和答題卡一并交回。
第Ⅰ卷（選擇題 共40分）
注意事項：
1．答第Ⅰ卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考試科目涂寫在答題卡。
2．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。不能答在試卷上。
一、本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。
（1） 在復平面內，復數對應的點位于（D）
（A）第一象限 （B）第二象限
（C）第三象限 （D）第四象限
解：故選D
（2）若與都是非零向量，則“”是“”的（C）
（A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件
（C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件
解：ÛÛÛ
故選C
（3）在這五個數字組成的沒有重復數字的三位數中，各位數字之和為奇數的共有（B）
（A）36個 （B）24個
（C）18個 （D）6個
解：依題意，所選的三位數字有兩種情況：（1）3個數字都是奇數，有種方法（2）3個數字中有一個是奇數，有，故共有＋＝24種方法，故選B
（4）平面的斜線交于點，過定點的動直線與垂直，且交于點，則動點的軌跡是（A）
（A）一條直線 （B）一個圓
（C）一個橢圓 （D）雙曲線的一支
解：設與¢是其中的兩條任意的直線，則這兩條直線確定一個平面，且斜線垂直這個平面，由過平面外一點有且只有一個平面與已知直線垂直可知過定點與垂直所有直線都在這個平面內，故動點C都在這個平面與平面的交線上，故選A
（5）已知是上的減函數，那么的取值范圍是（C）
（A） （B）
（C） （D）
解：依題意，有0<a<1且3a－1<0，解得0<a<，又當x<1時，（3a－1）x＋4a>7a－1，當x>1時，logax<0，所以7a－1³0解得x³故選C
（6）在下列四個函數中，滿足性質：“對于區間上的任意，恒成立”的只有（A）
（A） （B）
（C） （D）
解：|>1<1\ |<|x1－x2|故選A
（7）設，則等于（D）
（A） （B）
（C） （D）
解：依題意，為首項為2，公比為8的前n＋4項求和，根據等比數列的求和公式可得D
（8）下圖為某三岔路口交通環島的簡化模型，在某高峰時段，單位時間進出路口的機動車輛數如圖所示，圖中分別表示該時段單位時間通過路段的機動車輛數（假設：單位時間內，在上述路段中，同一路段上駛入與駛出的車輛數相等），則20，30；35，30；55，50 （C）
（A）
（B）
（C）
（D）
解：依題意，有x1＝50＋x3－55＝x3－5，\x1<x3，同理，x2＝30＋x1－20＝x1＋10
\x1<x2，同理，x3＝30＋x2－35＝x2－5\x3<x2故選C
絕密★啟用前
2006年普通高等學校招生全國統一考試
數 學（理工農醫類）（北京卷）
第Ⅱ卷（共110分）
注意事項：
1．用鋼筆或圓珠筆將答案直接寫在試卷上
2．答卷前將密封線內的項目填寫清楚。
二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。把答案填在題中橫線上。
（9）的值等于
解：＝＝
（10）在的展開式中，的系數為（用數字作答）.
解：令得r＝1故 的系數為
＝－14
（11）若三點共線，則的值等于
解：， ，依題意，有（a－2）?（b－2）－4＝0
即ab－2a－2b＝0所以＝
（12）在中，若，則的大小是.
解： Ûa:b:c＝5:7:8設a＝5k，b＝7k，c＝8k，由余弦定理可解得的大小為.
（13）已知點的坐標滿足條件，點為坐標原點，那么的最小值等于,最大值等于.
解：畫出可行域，如圖所示：
易得A（2，2），OA＝
B（1，3），OB＝
C（1，1），OC＝
故|OP|的最大值為，
最小值為.
（14）已知三點在球心為，半徑為的球面上，，且，那么兩點的球面距離為，球心到平面的距離為.
解：如右圖，因為，所以AB是截面
的直徑，又AB＝R，所以△OAB是等邊三角形，
所以ÐAOB＝，故兩點的球面距離為，
于是ÐO1OA＝30°，所以球心到平面的距離
OO1＝Rcos30°＝.
三、解答題：本大題共6小題，共80分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
（15）（本小題共12分）
已知函數，
（Ⅰ）求的定義域；
（Ⅱ）設是第四象限的角，且，求的值.
解：（1）依題意，有cosx¹0，解得x¹kp＋，
即的定義域為｛x|xÎR，且x¹kp＋，kÎZ｝
（2）＝－2sinx＋2cosx\＝－2sina＋2cosa
由是第四象限的角，且可得sina＝－，cosa＝\＝－2sina＋2cosa
＝
（16）（本小題共13分）
已知函數在點處取得極大值，其導函數的圖象經過點，，如圖所示.求：
（Ⅰ）的值；
（Ⅱ）的值.
解：（1）由導函數的圖象可知，當xÎ（－¥，1）時，>0，當xÎ（1，2）時，<0，當xÎ
（2，＋¥）時，>0，所以當x＝1時，函數取得極大值，
即x0＝1
（2）＝3ax2＋2bx＋c，依題意有：，＝5即有
3a＋2b＋c＝0 ，12a＋4b＋c＝0，a＋b＋c＝5解得a＝2，b＝－9，c＝12
（17）（本小題共14分）
如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐中，，平面，且，點是的中點.
（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）求證：平面；
（Ⅲ）求二面角的大小.
解：（1）由平面可得PA^AC
又，所以AC^平面PAB，所以
（2）如圖，連BD交AC于點O，連EO，則
EO是△PDB的中位線，\EOPB
\PB平面
（3）如圖，取AD的中點F，連EF，FO，則
EF是△PAD的中位線，\EFPA又平面，\EF^平面
同理FO是△ADC的中位線，\FOAB\FO^AC由三垂線定理可知\ÐEOF是二面角E－AC－D的平面角.又FO＝AB＝PA＝EF\ÐEOF＝45°而二面角與二面角E－AC－D互補，故所求二面角的大小為135°.
（18）（本小題共13分）
某公司招聘員工，指定三門考試課程，有兩種考試方案.
方案一：考試三門課程，至少有兩門及格為考試通過；
方案二：在三門課程中，隨機選取兩門，這兩門都及格為考試通過.
假設某應聘者對三門指定課程考試及格的概率分別是，且三門課程考試是否及格相互之間沒有影響.
（Ⅰ）分別求該應聘者用方案一和方案二時考試通過的概率；
（Ⅱ）試比較該應聘者在上述兩種方案下考試通過的概率的大小.（說明理由）
解：設三門考試課程考試通過的事件分別為A，B，C，相應的概率為a，b，c
（1）考試三門課程，至少有兩門及格的事件可表示為AB＋AC＋BC＋ABC，設其概率為
P1，則P1＝ab（1－c）＋a（1－b）c＋（1－a）bc＋abc＝ab＋ac＋bc－2abc
設在三門課程中，隨機選取兩門，這兩門都及格的概率為P2，則P2＝ab＋ac＋bc
（2）P1－P2＝（ab＋ac＋bc－2abc）－（ab＋ac＋bc）＝ab＋ac＋bc－2abc
＝（ab＋ac＋bc－3abc）＝〔ab（1-c）＋ac（1－b）＋bc（1－a）〕>0
\P1>P2即用方案一的概率大于用方案二的概率.
（19）（本小題共14分）
已知點，動點滿足條件.記動點的軌跡為.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）若是上的不同兩點，是坐標原點，求的最小值.
解：（1）依題意，點P的軌跡是以M，N為焦點的雙曲線的右支，所求方程為：
（x>0）
（2） 當直線AB的斜率不存在時，設直線AB的方程為x＝x0，此時A（x0，），
B（x0，－），＝2
當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為y＝kx＋b，代入雙曲線方程中，得：
（1－k2）x2－2kbx－b2－2＝0……………………1°
依題意可知方程1°有兩個不相等的正數根，設A（x1，y1），B（x2，y2），則
解得|k|>1又＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋（kx1＋b）（kx2＋b）＝（1＋k2）x1x2＋kb（x1＋x2）＋b2＝>2
綜上可知的最小值為2
（20）（本小題共14分）
在數列中，若是正整數，且，則稱為“絕對差數列”.
（Ⅰ）舉出一個前五項不為零的“絕對差數列”（只要求寫出前十項）；
（Ⅱ）若“絕對差數列”中，，數列滿足，，分別判斷當時，與的極限是否存在，如果存在，求出其極限值；
（Ⅲ）證明：任何“絕對差數列”中總含有無窮多個為零的項.
解：（Ⅰ）,（答案不惟一）
（Ⅱ）因為在絕對差數列中,.所以自第 20 項開始，該數列是,,
即自第 20 項開始。每三個相鄰的項周期地取值 3，0，3. 所以當時，的極限
不存在.
當時, ,所以
（Ⅲ）證明：根據定義，數列必在有限項后出現零項.證明如下
假設中沒有零項，由于,所以對于任意的n，都有,從而
當時, ;
當 時,
即的值要么比至少小1，要么比至少小1.
令
則
由于是確定的正整數，這樣減少下去，必然存在某項 ，這與()
矛盾. 從而必有零項.
若第一次出現的零項為第項，記，則自第項開始，每三個相鄰的項周期地取值 0，, , 即
所以絕對差數列中有無窮多個為零的項.
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