雅禮中學(xué)2006屆高三第一次模擬考試
數(shù)學(xué)試卷(理工農(nóng)醫(yī)類)
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．
參考公式： 正棱錐、圓錐的側(cè)面積公式
如果事件A、B互斥，那么
P（A+B）=P（A）+P（B）
如果事件A、B相互獨(dú)立，那么 其中，c表示底面周長(zhǎng)、l表示斜高或
P（A?B）=P（A）?P（B） 母線長(zhǎng)
如果事件A在1次實(shí)驗(yàn)中發(fā)生的概率是 球的體積公式
P，那么n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中恰好發(fā)生k
次的概率
其中R表示球的半徑
第I卷(共50分)
一．選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的．
１．設(shè)全集
，集合
則下列關(guān)系中正確的是
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
２．若
，則
與
的夾角是
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
３．若命題
，則
是
Ａ．
且
Ｂ．或
Ｃ．
Ｄ．
４．
等于
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
５．二項(xiàng)展開式
的各項(xiàng)系數(shù)之和為
，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
６．在
中，
是
成立的
Ａ．必要不充分條件 Ｂ．充分不必要條件
Ｃ．充要條件 Ｄ．既不充分也不必要條件
７．若
是兩個(gè)相交平面，點(diǎn)
不在
內(nèi)，也不在
內(nèi)，則過點(diǎn)且與都平行的直線
Ａ．只有條 Ｂ．只有條 Ｃ．只有
條 Ｄ．有無數(shù)條
８．定義：復(fù)數(shù)
是復(fù)數(shù)
的共軛復(fù)數(shù)．若復(fù)數(shù)
在映射
下的象為
，則
的原象為
Ａ． Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
９．設(shè)函數(shù)
，則當(dāng)
時(shí)，函數(shù)
的值域是
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
10．用四種不同的顏色給正方體
的六個(gè)面染色，要求相鄰兩個(gè)面涂不同的顏色，且四種顏色均用完，則所有不同的涂色方法共有
Ａ．
種 Ｂ．
種 Ｃ．
種 Ｄ．
種
第Ⅱ卷(共100分)
二．填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分，把答案填在題中橫線上．
11．在等比數(shù)列
中，
，則
等于
．
12．若橢圓的焦點(diǎn)到其相應(yīng)準(zhǔn)線的距離等于半焦距長(zhǎng)，則橢圓的離心率
．
13．在抽查某產(chǎn)品的尺寸過程中，將其尺寸分成若干組，
是其中的一組，抽查出的個(gè)體數(shù)在該組上的頻率為
，該組上的直方圖的高為
，則
等于 ．
14．已知球面上三點(diǎn)
，且
，球的半徑為
，則球心到平面
的距離為 
．
15．已知函數(shù)
的圖象過點(diǎn)
，其反函數(shù)
的圖象過點(diǎn)
，則
（１）
；
（２）若方程
沒有實(shí)根，則實(shí)數(shù)
的取值范圍是
．
三．解答題：本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
16．（本小題滿分12分）
已知５條橋梁橫跨A、Ｂ兩岸，假設(shè)各條橋梁的車流量分別為１、１、２、２、３（單
位：萬量），現(xiàn)從這５條橋梁中任取三條橋梁，考察這三條橋梁的車流量之和
．
（１）求
的概率；
（２）求的數(shù)學(xué)期望．
17．（本小題滿分12分）
平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)
．
（１）若
，求
的值；
（２）若
，求
與
的夾角．
18．（本小題滿分14分）
如圖，在正三棱柱
中，
是
中點(diǎn)，點(diǎn)
在
上．
（１）試確定點(diǎn)Ｎ的位置，使
；
（２）當(dāng)時(shí)，求二面角
的大小．
19．（本小題滿分14分）
某種商品在天內(nèi)每件的銷售價(jià)格
（元）與時(shí)間
（天）的函數(shù)關(guān)系用右圖的兩條線段表示，該商品在內(nèi)日銷售量
（件）與時(shí)間（天）之間的關(guān)系如下表：
第天
5
15
20
30
件
35
25
20
10
（１）根據(jù)提供的圖象，寫出該商品每件
的銷售價(jià)格與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系；
（２）在所給直角坐標(biāo)系中，根據(jù)表中提
供的數(shù)據(jù)描出實(shí)數(shù)對(duì)
的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，并
確定日銷售量與時(shí)間的一個(gè)函數(shù)關(guān)系
式；
（３）求該商品的日銷售金額的最大值，
并指出日銷售金額最大的一天是天中
的第幾天？（日銷售金額＝每件的銷售價(jià)
格
日銷售梁）
20．（本小題滿分14分）
已知：
分別是
軸正方向上的兩個(gè)單位向量，
是直角平面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
，
，設(shè)動(dòng)點(diǎn)Ｐ的曲線方程為Ｃ，點(diǎn)
是曲線Ｃ上位于第一象限的不同兩點(diǎn)．
（１）求曲線C的方程；
（２）設(shè)
軸上一點(diǎn)Ｔ滿足條件：
，求
點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍．
21．（本小題滿分14分）
已知函數(shù)
．
（１）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（２）是偶數(shù)時(shí)，正項(xiàng)數(shù)列滿足
，求
的通項(xiàng)公式；
（３）是奇數(shù)，
時(shí)，求證：
．
雅禮中學(xué)2006屆高三第一次模擬考試
數(shù)學(xué)試卷(理工農(nóng)醫(yī)類)答案
１．Ｂ ２．Ｃ ３．Ａ ４．Ｃ ５．Ｄ
一．選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的．
６．Ｃ ７．Ａ ８．Ｂ ９．Ｄ 10．Ｂ
二．填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分，把答案填在題中橫線上．
11．
12．
13．
14．
15．（１）
；（２）
三．解答題：本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
16．（本小題滿分12分）
解：（１）由等可能事件得
．……………………………………… 5分
（２）由已知得
．分布列如下：
４
５
６
７
……………………………………………………………………………………………10分
故
． …………………………………………………………………………12分
17．（本小題滿分12分）
解：（１）
． ……………………………………………………………… 6分
（２）由得
． …………………10分
由夾角公式得
． …………………………………………………………………12分
18．（本小題滿分14分）
解：（１）
． ……………………………………………………………… 6分
（２）
． ………………………………………………………………14分
19．（本小題滿分14分）
解：（１）由已知得：
．…4分
（２）如圖所示，對(duì)應(yīng)的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式為
． …… 8分
（３）分段函數(shù)分段處理得
, ………11分
當(dāng)
時(shí)，日銷售金額最大，且最大值為
元． ……………………………14分
20．（本小題滿分14分）
解：（１）由雙曲線的定義得
． ……………………………… 6分
（２）由得即為線段
的中垂線與軸的交點(diǎn)．………… 8分
令
，則線段的中垂線方程為
，
所以的縱坐標(biāo)為
． …………………………………10分
由點(diǎn)差法得
， ………………………………………………12分
代入得
．
又
，則
， ……………………………………13分
所以
，即點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍是
． …………14分
21．（本小題滿分14分）
解：（１）由已知得
，而
．
當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，則
，則在
上是增函數(shù)； ………………… 2分
當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，則
，所以當(dāng)
時(shí)，
；
當(dāng)
時(shí)，．
故當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，在
上是減函數(shù)，在
上是增函數(shù)． …………… 4分
（２）由已知得
， …………………… 6分
所以
是以２為首項(xiàng)，公比為２的等比數(shù)列，
故
．……………………………………………………………………… 8分
（３）由已知得
，
所以左邊
． …………………………12分
右倒序相加法得：
令
，
所以
．
所以成立． ………………………………14分
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