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2、已知復數，則（    ）

A. 2        B. －2      C. 2i      D. －2i

3、如果等腰三角形的周長是底邊長的5倍，那么它的頂角的

余弦值為（    ）

A. 5/18            B. 3/4       C. /2      D. 7/8

4、設等比數列的公比，前n項和為，則（    ）

A. 2               B. 4               C.                   D.

5、右面的程序框圖，如果輸入三個實數a、b、c，要求輸出這三個數中最大的數，那么在空白的判斷框中，應該填入下面四個選項中的（    ）

A. c > x         B. x > c          C. c > b          D. b > c

6、已知，則使得都成立的取值范圍是（    ）

A.（0，）                 B. （0，）             C. （0，）                D. （0，）

7、=（    ）        A.                B.                  C. 2           D.

8、平面向量，共線的充要條件是（    ）

A. ，方向相同                           B. ，兩向量中至少有一個為零向量                

C. ，                           D. 存在不全為零的實數，，

9、甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中參加某項志愿者活動，要求每人參加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外兩位前面。不同的安排方法共有（    ）

A. 20種                       B. 30種                C. 40種                       D. 60種

10、由直線，x=2，曲線及x軸所圍圖形的面積是（    ）

A.                   B.                  C.                            D.

11、已知點P在拋物線y² = 4x上，那么點P到點Q（2，－1）的距離與點P到拋物線焦點距離之和取得最小值時，點P的坐標為（    ）

A. （，－1）                 B. （，1）              C. （1，2）                D. （1，－2）

12、某幾何體的一條棱長為，在該幾何體的正視圖中，這條棱的投影是長為的線段，在該幾何體的側視圖與俯視圖中，這條棱的投影分別是長為a和b的線段，則a + b的最大值為（    ）

A.                       B.                C. 4                      D.

13、已知向量，，且，則= ____________

14、過雙曲線的右頂點為A，右焦點為F。過點F平行雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點B，則△AFB的面積為______________

15、一個六棱柱的底面是正六邊形，其側棱垂直底面。已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上，且該六棱柱的體積為，底面周長為3，那么這個球的體積為 _________

16、從甲、乙兩品種的棉花中各抽測了25根棉花的纖維長度（單位：mm），結果如下：

由以上數據設計了如下莖葉圖：

甲品種：

271

273

280

285

285

287

292

294

295

301

303

303

307

308

310

314

319

323

325

325

328

331

334

337

352

乙品種：

284

292

295

304

306

307

312

313

315

315

316

318

318

320

322

322

324

327

329

331

333

336

337

343

356

甲

乙

3

1

27

7

5

5

0

28

4

5

4

2

29

2

5

8

7

3

3

1

30

4

6

7

9

4

0

31

2

3

5

5

6

8

8

8

5

5

3

32

0

2

2

4

7

9

7

4

1

33

1

3

6

7

34

3

2

35

6

根據以上莖葉圖，對甲乙兩品種棉花的纖維長度作比較，寫出兩個統計結論：

①____________________________________________________________________________________

②____________________________________________________________________________________

17、（本小題滿分12分）已知數列是一個等差數列，且，。

（1）求的通項；（2）求前n項和的最大值。

18、（本小題滿分12分）如圖，已知點P在正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁的對角線BD₁上，∠PDA=60°。

（1）求DP與CC₁所成角的大小；（2）求DP與平面AA₁D₁D所成角的大小。

19、（本小題滿分12分）A、B兩個投資項目的利潤率分別為隨機變量X₁和X₂。根據市場分析，X₁和X₂的分布列分別為

X₁

5%

10%

X₂

2%

8%

12%

P

0.8

0.2

P

0.2

0.5

0.3

（1）在A、B兩個項目上各投資100萬元，Y₁和Y₂分別表示投資項目A和B所獲得的利潤，求方差DY₁、DY₂；（2）將x（0≤x≤100）萬元投資A項目，100－x萬元投資B項目，f(x)表示投資A項目所得利潤的方差與投資B項目所得利潤的方差的和。求f(x)的最小值，并指出x為何值時，f(x)取到最小值。   （注：D(aX + b) = a²DX）

20、（本小題滿分12分）在直角坐標系xOy中，橢圓C₁：的左、右焦點分別為F₁、F₂。F₂也是拋物線C₂：的焦點，點M為C₁與C₂在第一象限的交點，且。

（1）求C₁的方程；（2）平面上的點N滿足，直線l∥MN，且與C₁交于A、B兩點，若?=0，求直線l的方程。

21、（本小題滿分12分）設函數，曲線在點處的切線方程為

。（1）求的解析式；（2）證明：曲線的圖像是一個中心對稱圖形，并求其對稱中心；（3）證明：曲線上任一點處的切線與直線和直線所圍三角形的面積為定值，并求出此定值。

請考生在第22、23題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分。做答時用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑。

22、（本小題滿分10分）選修4－1：幾何證明選講

如圖，過圓O外一點M作它的一條切線，切點為A，過A作直線AP垂直直線OM，垂足為P。

（1）證明：OM?OP = OA²；

（2）N為線段AP上一點，直線NB垂直直線ON，且交圓O于B點。過B點的切線交直線ON于K。證明：∠OKM = 90°。

23、（本小題滿分10分）選修4－4：坐標系與參數方程

已知曲線C₁：，曲線C₂：。

（1）指出C₁，C₂各是什么曲線，并說明C₁與C₂公共點的個數；

（2）若把C₁，C₂上各點的縱坐標都壓縮為原來的一半，分別得到曲線，。寫出，的參數方程。與公共點的個數和C₁與C₂公共點的個數是否相同？說明你的理由。

24、（本小題滿分10分）選修4－5：不等式選講

已知函數。（1）作出函數的圖像；（2）解不等式。

2008年普通高等學校統一考試（海南、寧夏卷）

數學（理科）

第Ⅰ卷

A．1             B．2       C．          D．

解：由圖象知函數的周期，所以

2．已知復數，則=（    ）

A．           B．         C．            D．

解：，，故選B

3．如果等腰三角形的周長是底邊長的5倍，那么它的頂角的余弦值為（    ）

解：設頂角為C，因為，由余弦定理

4．設等比數列的公比q=2，前n項和為S_n，則=（    ）

A．            B．            C．          D．

解：

5．右面的程序框圖，如果輸入三個實數a，b，c，要求輸出這三

個數中最大的數，那么在空白的判斷框中，應該填入下面四個選

項中的（    ）

A．             B．             C．             D．

解：變量的作用是保留3個數中的最大值，所以第二個條件結構的判斷框內語句為“”，

滿足“是”則交換兩個變量的數值后輸出的值結束程序，滿足“否”直接輸出的值結束程序。

6．已知，則使得都成立的x取值范圍是（    ）

A．          B．          C．          D．

解：，所以解集為，

又，因此選B。

7．（    ）    A．           B．        C．            D．

解：，選C。

8．平面向量a，b共線的充要條件是（    ）

A．a，b方向相同

B．a，b兩向量中至少有一個為零向量

C．，

D．存在不全為零的實數，，

解：注意零向量和任意向量共線。

9．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中參加某項志愿者活動，要求每人參加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外兩位前面．不同的安排方法共有（    ）

A．20種              B．30種        C．40種        D．60種

解：分類計數：甲在星期一有種安排方法，甲在星期二有種安排方法，

甲在星期三有種安排方法，總共有種

10．由直線，x=2，曲線及x軸所圍圖形的面積為（    ）

A．          B．          C．            D．

解：如圖，面積

11．已知點P在拋物線上，那么點P到點的距離與點P到拋物線焦點距離之和取得最小值時，點P的坐標為（    ）

A．        B．            C．              D．

解：點P到拋物線焦點距離等于點P到拋物線準線距離，如圖

,故最小值在三點共線時取得，

此時的縱坐標都是，所以選A。（點坐標為）

12．某幾何體的一條棱長為，在該幾何體的正視圖中，這條棱的投影是長為的線段，在該幾何體的側視圖與俯視圖中，這條棱的投影分別是長為a和b的線段，則a+b的最大值為（    ）

A．              B．              C．            D．

解：結合長方體的對角線在三個面的投影來理解計算。如圖

設長方體的高寬高分別為，由題意得

，

，，所以

，

當且僅當時取等號。

第Ⅱ卷

本卷包括必考題和選考題兩部分．第13題～第21題為必考題，每個試題考生都必須做答．第22題～第24題為選考題，考生根據要求做答．

13．已知向量，，且，則　　　　．

解：由題意

14．設雙曲線的右頂點為A，右焦點為F．過點F平行雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點B，則△AFB的面積為　　　　　　．

解：雙曲線的右頂點坐標，右焦點坐標，設一條漸近線方程為，

建立方程組，得交點縱坐標，從而

15．一個六棱柱的底面是正六邊形，其側棱垂直底面．已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上，且該六棱柱的體積為，底面周長為3，則這個球的體積為　　　　　　．

解：令球的半徑為，六棱柱的底面邊長為，高為，顯然有，且

16．從甲、乙兩品種的棉花中各抽測了25根棉花的纖維長度（單位：mm），結果如下：

甲品種：271　273　280　285　285  287　292　294　295　301　303　303　307

              308　310　314　319　323　325　325  328　331　334　337　352

乙品種：284　292　295　304　306　307　312　313　315　315　316　318　318

              320　322　322　324　327　329　331　333　336　337　343　356

由以上數據設計了如下莖葉圖

根據以上莖葉圖，對甲、乙兩品種棉花的纖維長度作比較，寫出兩個統計結論：

①　　　　　　　　　　　　　　　；②　　　　　　　　　　　　　　　．

解：1．乙品種棉花的纖維平均長度大于甲品種棉花的纖維平均長度（或：乙品種棉花的纖維長度普遍大于甲品種棉花的纖維長度）．

2．甲品種棉花的纖維長度較乙品種棉花的纖維長度更分散．（或：乙品種棉花的纖維長度較甲品種棉花的纖維長度更集中（穩定）．甲品種棉花的纖維長度的分散程度比乙品種棉花的纖維長度的分散程度更大）．

3．甲品種棉花的纖維長度的中位數為307mm，乙品種棉花的纖維長度的中位數為318mm．

4．乙品種棉花的纖維長度基本上是對稱的，而且大多集中在中間（均值附近）．甲品種棉花的纖維長度除一個特殊值（352）外，也大致對稱，其分布較均勻．

17．（本小題滿分12分）

已知是一個等差數列，且，．

（Ⅰ）求的通項；   （Ⅱ）求前n項和S_n的最大值．

解：（Ⅰ）設的公差為，由已知條件，，解出，．

所以．

（Ⅱ）．

所以時，取到最大值．

18．（本小題滿分12分）

如圖，已知點P在正方體的對角線上，．

（Ⅱ）求DP與平面所成角的大小．

解：如圖，以為原點，為單位長建立空間直角坐標系．

在平面中，延長交于．

設，由已知，

由

可得．解得，

所以．（Ⅰ）因為，

所以．即與所成的角為．

（Ⅱ）平面的一個法向量是．

因為， 所以．

可得與平面所成的角為．

19．（本小題滿分12分）

兩個投資項目的利潤率分別為隨機變量X₁和X₂．根據市場分析，X₁和X₂的分布列分別為

­ X₁

5％

10％

0.8

0.2

­ X₂

2％

8％

12％

0.2

0.5

0.3

（Ⅰ）在兩個項目上各投資100萬元，Y₁和Y₂分別表示投資項目A和B所獲得的利潤，求方差DY₁，DY₂；

（Ⅱ）將萬元投資A項目，萬元投資B項目，表示投資A項目所得利潤的方差與投資B項目所得利潤的方差的和．求的最小值，并指出x為何值時，取到最小值．（注：）

解：（Ⅰ）由題設可知和的分布列分別為

­ Y₁

5

10

0.8

0.2

­ Y₂

2

8

12

0.2

0.5

0.3

，

，

，

．

（Ⅱ）

，

當時，為最小值．

20．（本小題滿分12分）

在直角坐標系xOy中，橢圓C₁：=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F₂．F₂也是拋物線C₂：的焦點，點M為C₁與C₂在第一象限的交點，且｜MF₂｜=．

（Ⅰ）求C₁的方程；

（Ⅱ）平面上的點N滿足，直線l∥MN，且與C₁交于A，B兩點，若，求直線l的方程．

20．解：（Ⅰ）由：知．

設，在上，因為，所以，得，．

在上，且橢圓的半焦距，于是

消去并整理得  ， 解得（不合題意，舍去）．

故橢圓的方程為．

（Ⅱ）由知四邊形是平行四邊形，其中心為坐標原點，

因為，所以與的斜率相同，

故的斜率．設的方程為．

由  消去并化簡得  ．

設，，，．

因為，所以．

 ．

所以．此時，

故所求直線的方程為，或．

21．（本小題滿分12分）

設函數，曲線在點處的切線方程為y=3．

（Ⅰ）求的解析式：

（Ⅱ）證明：函數的圖像是一個中心對稱圖形，并求其對稱中心；

（Ⅲ）證明：曲線上任一點的切線與直線x=1和直線y=x所圍三角形的面積為定值，并求出此定值．

21．解：（Ⅰ），

于是解得或

因，故．

（Ⅱ）證明：已知函數，都是奇函數．

所以函數也是奇函數，其圖像是以原點為中心的中心對稱圖形．而．可知，函數的圖像按向量平移，即得到函數的圖像，故函數的圖像是以點為中心的中心對稱圖形．

（Ⅲ）證明：在曲線上任取一點．

由知，過此點的切線方程為

．

令得，切線與直線交點為．

令得，切線與直線交點為．

直線與直線的交點為．

從而所圍三角形的面積為．

所以，所圍三角形的面積為定值．

請考生在第22、23、24題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分．做答時，用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑．

22．（本小題滿分10分）選修4－1：幾何證明選講

如圖，過圓外一點作它的一條切線，切點為，過點作直線垂直直線，垂足為．

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）為線段上一點，直線垂直直線，且交圓于點．過點的切線交直線于．證明：．

解：（Ⅰ）證明：因為是圓的切線，所以．

又因為．在中，由射影定理知，

．

（Ⅱ）證明：因為是圓的切線，．

同（Ⅰ），有，又，

所以，即．

又，

所以，故．

23．（本小題滿分10分）選修4－4；坐標系與參數方程

已知曲線C₁：（為參數），曲線C₂：（t為參數）．

（Ⅰ）指出C₁，C₂各是什么曲線，并說明C₁與C₂公共點的個數；

（Ⅱ）若把C₁，C₂上各點的縱坐標都壓縮為原來的一半，分別得到曲線．寫出的參數方程．與公共點的個數和C公共點的個數是否相同？說明你的理由．

解：（Ⅰ）是圓，是直線．

的普通方程為，圓心，半徑．

的普通方程為．

因為圓心到直線的距離為，

所以與只有一個公共點．

（Ⅱ）壓縮后的參數方程分別為

：（為參數）； ：（t為參數）．

化為普通方程為：：，：，

聯立消元得，

其判別式，

所以壓縮后的直線與橢圓仍然只有一個公共點，和與公共點個數相同．

24．（本小題滿分10分）選修4－5：不等式選講

已知函數．

（Ⅰ）作出函數的圖像；

（Ⅱ）解不等式．

解：

（Ⅰ）

圖像如下：

（Ⅱ）不等式，即，

由得．

由函數圖像可知，原不等式的解集為．