2008年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（山東文科數(shù)學(xué)及答案
第Ⅰ卷（共60分）
參考公式：
錐體的體積公式：，其中是錐體的底面積，是錐體的高．
球的表面積公式：，其中是球的半徑．
如果事件互斥，那么．
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．滿足，且的集合的個數(shù)是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．設(shè)的共軛復(fù)數(shù)是，若，，則等于（ ）
A． B． C． D．
3．函數(shù)的圖象是（ ）
4．給出命題：若函數(shù)是冪函數(shù)，則函數(shù)的圖象不過第四象限．在它的逆命題、否命題、逆否命題三個命題中，真命題的個數(shù)是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
5．設(shè)函數(shù)則的值為（ ）
A． B． C． D．
可得該幾何體的表面積是（ ）
A． B．
C． D．
7．不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
8．已知為的三個內(nèi)角的對邊，向量．若，且，則角的大小分別為（ ）
A． B． C． D．
9．從某項綜合能力測試中抽取100人的成績，統(tǒng)計如表，則這100人成績的標準差為（ ）
分數(shù)
5
4
3
2
1
人數(shù)
20
10
30
30
10
A． B． C．3 D．
10．已知，則的值是（ ）
A． B． C． D．
11．若圓的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線和軸相切，則該圓的標準方程是（ ）
A． B．
C． D．
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分．
14．執(zhí)行右邊的程序框圖，若，
則輸出的 ．
15．已知，
則的
值等于 ．
16．設(shè)滿足約束條件
則的最大值為 ．
三、解答題：本大題共6小題，共74分．
17．（本小題滿分12分）
已知函數(shù)（，）為偶函數(shù)，且函數(shù)圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）將函數(shù)的圖象向右平移個單位后，得到函數(shù)的圖象，求的單調(diào)遞減區(qū)間．
18．（本小題滿分12分）
現(xiàn)有8名奧運會志愿者，其中志愿者通曉日語，通曉俄語，通曉韓語．從中選出通曉日語、俄語和韓語的志愿者各1名，組成一個小組．
（Ⅰ）求被選中的概率；
（Ⅱ）求和不全被選中的概率．
19．（本小題滿分12分）
（Ⅰ）設(shè)是上的一點，證明：平面平面；
（Ⅱ）求四棱錐的體積．
20．（本小題滿分12分）
將數(shù)列中的所有項按每一行比上一行多一項的規(guī)則排成如下數(shù)表：
記表中的第一列數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為，．為數(shù)列的前項和，且滿足．
（Ⅰ）證明數(shù)列成等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；
（Ⅱ）上表中，若從第三行起，第一行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成等比數(shù)列，且公比為同一個正數(shù)．當時，求上表中第行所有項的和．
21．（本小題滿分12分）
設(shè)函數(shù)，已知和為的極值點．
（Ⅰ）求和的值；
（Ⅱ）討論的單調(diào)性；
（Ⅲ）設(shè)，試比較與的大小．
22．（本小題滿分14分）
已知曲線所圍成的封閉圖形的面積為，曲線的內(nèi)切圓半徑為．記為以曲線與坐標軸的交點為頂點的橢圓．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）設(shè)是過橢圓中心的任意弦，是線段的垂直平分線．是上異于橢圓中心的點．
（1）若（為坐標原點），當點在橢圓上運動時，求點的軌跡方程；
（2）若是與橢圓的交點，求的面積的最小值．
2008年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（山東卷）
文科數(shù)學(xué)（答案）
一、選擇題
1．B 2．D 3．A 4．C 5．A 6．D
7．D 8．C 9．B 10．C 11．B 12．A
二、填空題
13． 14． 15．2008 16．11
1．滿足，且
的集合的個數(shù)是（ B ）
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：本小題主要考查集合子集的概念及交集運算。集合中必含有,
則或.選B.
2．設(shè)的共軛復(fù)數(shù)是，若，，則等于（ D ）
A． B． C． D．
解析：本小題主要考查共軛復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的運算。可設(shè)，由
得選D.
3．函數(shù)的圖象是（ A ）
解析：本小題主要考查復(fù)合函數(shù)的圖像識別。是偶函數(shù)，
可排除B、D，由的值域可以確定.選A.
4．給出命題：若函數(shù)是冪函數(shù)，則函數(shù)的圖象不過第四象限．
在它的逆命題、否命題、逆否命題三個命題中，真命題的個數(shù)是（ C ）
A．3 B．2 C．1 D．0
解析：本小題主要考查四種命題的真假。易知原命題是真命題,則其逆否命題也是真命題,
而逆命題、否命題是假命題.故它的逆命題、否命題、逆否命題三個命題中, 真命題
有一個。選C.
5．設(shè)函數(shù)則的值為（ A ）
A． B． C． D．
解析：本小題主要考查分段函數(shù)問題。正確利用分段函數(shù)來進行分段求值。
選A.
可得該幾何體的表面積是（ D ）
A． B．
C． D．
解析：本小題主要考查三視圖與幾何體的表面積。
從三視圖可以看出該幾何體是由一個球和
一個圓柱組合而成的，其表面及為
選D。
7．不等式的解集是（ D ）
A． B． C． D．
解析：本小題主要考查分式不等式的解法。易知排除B;由符合可排除C;
由排除A, 故選D。也可用分式不等式的解法,將2移到左邊直接求解。
8．已知為的三個內(nèi)角的對邊，向量
．若，且，
則角的大小分別為（ C ）
A． B． C． D．
解析：本小題主要考查解三角形問題。，
，
.選C. 本題在求角B時,也可用驗證法.
9．從某項綜合能力測試中抽取100人的成績，統(tǒng)計如表，則這100人成績的標準差為（ B ）
分數(shù)
5
4
3
2
1
人數(shù)
20
10
30
30
10
A． B． C．3 D．
解析：本小題主要考查平均數(shù)、方差、標準差的概念及其運算。
選B.
10．已知，則的值是（ C ）
A． B． C． D．
解析：本小題主要考查三角函數(shù)變換與求值。，
，
選C.
11．若圓的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線和軸相切，
則該圓的標準方程是（ B ）
A． B．
C． D．
解析：本小題主要考查圓與直線相切問題。
設(shè)圓心為由已知得選B.
則滿足的關(guān)系是（ A ）
A． B．
C． D．
解析：本小題主要考查正確利用對數(shù)函數(shù)的圖象來比較大小。
由圖易得取特殊點
.選A.
13．已知圓．以圓與坐標軸的交點分別作為雙曲線的一個
焦點和頂點，則適合上述條件的雙曲線的標準方程為 ．
解析：本小題主要考查圓、雙曲線的性質(zhì)。圓
得圓與坐標軸的交點分別為
則所以雙曲線的標準方程為
則輸出的 ．
解析：本小題主要考查程序框圖。
，因此輸出
15．已知，
則
的值等于 ．
解析：本小題主要考查對數(shù)函數(shù)問題。
16．設(shè)滿足約束條件 則的最大值為 ．
解析：本小題主要考查線性規(guī)劃問題。作圖(略)易知可行域為一個四角形,其四個頂點
分別為驗證知在點時取得最大值11.
17．解：（Ⅰ）
．
因為為偶函數(shù)，
所以對，恒成立，
因此．
即，
整理得．
因為，且，
所以．
又因為，
故．
所以．
由題意得，所以．
故．
因此．
（Ⅱ）將的圖象向右平移個單位后，得到的圖象，
所以．
當（），
即（）時，單調(diào)遞減，
因此的單調(diào)遞減區(qū)間為（）．
三、解答題
18．解：（Ⅰ）從8人中選出日語、俄語和韓語志愿者各1名，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件空間
{，，
，，，
，，，
}
由18個基本事件組成．由于每一個基本事件被抽取的機會均等，因此這些基本事件的發(fā)生是等可能的．
用表示“恰被選中”這一事件，則
{，
}
事件由6個基本事件組成，
因而．
（Ⅱ）用表示“不全被選中”這一事件，則其對立事件表示“全被選中”這一事件，
由于{}，事件有3個基本事件組成，
所以，由對立事件的概率公式得．
19．（Ⅰ）證明：在中，
由于，，，
故．
又平面平面，平面平面，
平面，
所以平面，
又平面，
故平面平面．
（Ⅱ）解：過作交于，
由于平面平面，
所以平面．
因此為四棱錐的高，
又是邊長為4的等邊三角形．
因此．
在底面四邊形中，，，
所以四邊形是梯形，在中，斜邊邊上的高為，
此即為梯形的高，
所以四邊形的面積為．
故．
20．（Ⅰ）證明：由已知，當時，，
又，
所以，
即，
所以，
又．
所以數(shù)列是首項為1，公差為的等差數(shù)列．
由上可知，
即．
所以當時，．
因此
（Ⅱ）解：設(shè)上表中從第三行起，每行的公比都為，且．
因為，
所以表中第1行至第12行共含有數(shù)列的前78項，
故在表中第13行第三列，
因此．
又，
所以．
記表中第行所有項的和為，
則．
21．解：（Ⅰ）因為
，
又和為的極值點，所以，
因此
解方程組得，．
（Ⅱ）因為，，
所以，
令，解得，，．
因為當時，；
當時，．
所以在和上是單調(diào)遞增的；
在和上是單調(diào)遞減的．
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，
故，
令，
則．
令，得，
因為時，，
所以在上單調(diào)遞減．
故時，；
因為時，，
所以在上單調(diào)遞增．
故時，．
所以對任意，恒有，又，
因此，
故對任意，恒有．
22．解：（Ⅰ）由題意得
又，
解得，．
因此所求橢圓的標準方程為．
（Ⅱ）（1）假設(shè)所在的直線斜率存在且不為零，設(shè)所在直線方程為，
．
解方程組得，，
所以．
設(shè)，由題意知，
所以，即，
因為是的垂直平分線，
所以直線的方程為，
即，
因此，
又，
所以，
故．
又當或不存在時，上式仍然成立．
綜上所述，的軌跡方程為．
（2）當存在且時，由（1）得，，
由解得，，
所以，，．
解法一：由于
，
當且僅當時等號成立，即時等號成立，此時面積的最小值是．
當，．
當不存在時，．
綜上所述，的面積的最小值為．
解法二：因為，
又，，
當且僅當時等號成立，即時等號成立，
此時面積的最小值是．
當，．
當不存在時，．
綜上所述，的面積的最小值為．
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