2005―2006學年度高三年級第一學期期末練習
數學試卷（理科）
YC
一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分. 在每小題給出的四個選項中，選出符合題目要求的一項）
1．已知的值為 （ ）
A． B． C． D．
2．過點A（4，a）和點B（5，b）的直線與直線平行，則|AB|的值為 （ ）
A．6 B． C．2 D．不能確定
3．函數的最小正周期為 （ ）
A． B． C． D．2
4．已知夾角大小為 （ ）
A． B． C． D．
5．已知m、n是不重合的直線，、是不重合的平面，給出下列四個命題
① ②
③若 ④
其中正確命題的個數為 （ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
6．將函數的圖象沿x軸向右平移a個單位（a>0），所得圖象關于y軸對稱，則a的最小值為 （ ）
A． B． C． D．
7．一個三棱錐S―ABC的三條側棱SA、SB、SC兩兩互相垂直，且長度分別為1、、3.已知該三棱錐的四個頂點都在一個球面上，則這個球的表面積為 （ ）
A．16 B．32 C．36 D．64
8．已知曲線，給出四下列四個命題
①曲線C與兩坐標軸圍成的圖形面積不大于
②曲線C上的點到原點的距離的最小值為
③曲線C關于點（）中心對稱
④當1時，曲線C上所有點處的切線斜率為負值
其中正確命題個數為 （ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分. 把答案填在題中橫線上）
9．拋物線R）的焦點坐標為 ，準線方程是 .
10．若實數①，則不等式組①表示的區域面積為 ，
的取值范圍是 .
11．邊長為1的等邊三角形ABC中，沿BC邊高線AD折起，使得折后二面角B―AD―C為60°，則點A到BC的距離為 ，點D到平面ABC的距離為 .
12．下圖中的多邊形均為正多邊形.圖①中F1、F2為橢圓的焦點，M、N為所在邊中點，則該橢圓的離心率e1的值為 ，圖②中F1、F2為雙曲線的焦點，M、N、P、Q分別為所在邊中點，則該雙曲線的離心率e2的值為 .
13．一個正方體內接于一個球，過球心作截面，則下圖中截面的可能圖形是 ，
其中過正方體對角面的截面圖形為 .（把正確的圖形的序號全填在橫線上）
14．分段函數 可以表示為，同樣分段函數
可以表示為）仿此，分段函數
可以表示為= ，分段函數
，可以表示為= .
三、解答題（本大題共6小題，共80分. 解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
15．（本小題共13分）
△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c. 2sin2C=3cosC，c=，又△ABC的面
積為.
（I）角C的大小；
（II）a+b的值.
16．（本小題共14分）
如圖，直三棱柱ABC―A1B1C1中，AB=AC=AA1=a，∠BAC=90°，D為棱B1B的中
點.
（I）證明：A1D⊥平面ADC；
（II）求異面直線A1C與C1D所成角的大小；
（III）求平面A1CD與平面ABC所成二面角的大小（僅考慮銳角的情況）.
17．（本小題共13分）
已知.
（I）若圓C的切線在x軸和y軸上的截距相等，求此切線的方程；
（II）從圓C外一點P向該圓引一條切線，切點為M，O為坐標原點，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值的點P的坐標.
18．（本小題共14分）
數列上.
（I）設，求證：數列是等比數列；
（II）設的通項公式；
（III）的前n項和，試比較的大小.
19．（本小題共13分）
已知雙曲線的左、右頂點分別為A、B，右焦點為F（c，0）
（c>0），右準線為.過點F作直線交雙曲線的右支于P、Q兩點，延長
PB交右準線l于M點.
（I）求雙曲線的方程；
（II）若的面積S；
（III）若問是否存在實數，使得.若存在，求出的表達式；若不存在，請說明理由.
20．（本小題共13分）
設函數，其中實數A，B，C滿足：
①， ②.
（I）求證：；
（II）.
一、選擇題
1.D 2.B 3.C 4.D 5.C 6.C 7.A 8.C
二、填空題（第一空2分，第二空3分，13題反之）
9． 10．
11． 12．
13．①②③；② 14．
三、解答題
15．解：（1）由已知得，……………………2分
（舍），………………………4分
在三角形ABC中，C=60°. ……………………………6分
（2）…………8分
又
……………………10分
……………………13分
16．[解法一]
（1）證：都為等腰直角三角形，
，………2分
又
……………………4分
（2）解：連AC1交A1C于E點，取AD中點F，連EF、CF，則EF//C1D
是異面直線A1C與C1D所成的角（或補角）…………5分
在………………8分
則異面直線A1C與C1D所成角的大小為………………9分
（3）解：延長A1D與AB延長線交于G點，連結CG
過A作AH⊥CG于H點，連A1H，
平面ABC，（三垂線定理）
則是二面角A1―CG―A的平面角，即所求二面角的平面角……10分
在直角三角形ACG中，，
……………………11分
在直角三角形A1AH中，，………………13分
即所求的二面角的大小為…………14分
[解法二]向量法（略）
17．解：（1）∵切線在兩坐標軸上的截距相等，
∴當截距不為零時，設切線方程為，
又∵圓C：，
∴圓心C（－1，2）到切線的距離等于圓半徑，
即：……………………4分
當截距為零時，設
同理可得
則所求切線的方程為：
或
（2）∵切線PM與半徑CM垂直，
……………………………………8分
∴動點P的軌跡是直線……………………10分
∴|PM|的最小值就是|PO|的最小值.
而|PO|的最小值為點O到直線的距離………11分
可得：
則所求點坐標為………………………………13分
18．（1）證明：上
………………1分 ………2分
……………………4分
是首項為2，公比為2的等比數列.
（2）解：由（1）可得，………………………………6分
所以 ……………………8分
（3）
=………………10分
當；…………………………11分
當………………12分
當用數學歸納法證明如下：
當
假設時成立
即
即
當
綜上可知
…………………………14分
綜上可知當；
當
19．解：（1）由題意知
則雙曲線方程為：…………………………3分
（2）設，右準線，
設PQ方程為：
代入雙曲線方程可得：
由于P、Q都在雙曲線的右支上，所以，
…………………………4分
……4分
由于
由可得：…………………………6分
……………………………………7分
此時
（II）存在實數，滿足題設條件.
的直線方程為：
令得 即
即
又
把（3）（4）代入（2）得：……（5）………………（10分）
由（1）（5）得：……………（11分）
又
令……………………13分
故存在實數μ，滿足題設條件.
20．證明：（I）
………………………………1分
又
……………………………………2分
………………4分
（II）當時，時，
∴只須證明當時，………………………………5分
由②，知A>0，…………………………………………6分
為開口向上的拋物線，其對稱軸方程為
又……9分
，有
為[0，2]上的增函數.
時，有
即……………………………………………13分
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