2009年沈陽市高中三年級教學質量監測（二）
數 學 （理科）
本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，第I卷1至2頁，第Ⅱ卷3至4頁。全卷滿分150分，考試時間120分鐘。
注意事項：
1．答題前將封閉線內的項目和座位號填寫清楚，將考號、座位號、考試科目用2B鉛筆涂寫在答題卡的相應位置上。
2．答第I卷時，每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。
3．考試結束后，監考人員將答題紙和答題卡一并收回。
參考公式：
如果事件
互斥，那么
如果事件相互獨立，那么
球的表面積公式
，球的體積公式
，其中
表示球的半徑．
．
第I卷（選擇題）
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，滿分60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．設全集為，
，集合
等于
A．
B．
C．
D．
2．若復數
是虛數單位），且
是純虛數，則
等于
A．
B．
C．
D．40
3．下列命題錯誤的是
A．命題“若
，則
“的逆否命題為”若
“
B．若命題
，則
C．若
為假命題，則
，
均為假命題
D．
的充分不必要條件
4．已知結論:“在正三角形ABC中,若D是邊BC的中點,G是三角形ABC的重心,則
2“。若把該結論推廣到空間，則有結論：“在棱長都相等的四面體
中，若
的中心為
，四面體內部一點
到四面體各面的距離都相等，則
=
A．1 B．
5．直線
與圓
相交于
兩點，若弦
的中點為
，則直線的方程為
A．
B．
C．
D．
6．在數列
中，若
，則通項
是
A．
B．
C．
D．
7．甲、乙兩名同學在五次《數學基本能力》測試中，成績統計用莖葉圖表示如下，若甲、乙兩人的平均成績分別是
，則下列結論正確的是
A．
，甲比乙成績穩定
B．，乙比甲成績穩定
C．
，甲比乙成績穩定
D．，乙比甲成績穩定
8．由曲線
和直線
所圍成的封閉圖形的面積為
A．
B．
C．
D．
9．若實數
滿足
，則
有
A．最大值
B．最小值 C．最大值6 D．最小值6
10．在正
中，若點
分別是
的中點，則以
為焦點，且過 的雙曲線的離心率為
A．
B．
C．
D．
11．若從數字0，1，2，3，4，5中任取三個不同的數作為二次函數
的系數，則與
軸有公共點的二次函數的概率是
A．
B．
C．
D．
12．已知函數
，且函數
在區間（0，1）內取得極大值，在區間（1，2）內取得極小值，則
的取值范圍
A．
B．
C．（1，2） D．（1，4）
第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）
本卷包括必考題和選考題兩部分，第13題～第21題為必考題，每個試題考生都必須做
答。第22題～第24題為選考題，考生根據要求做答。
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。
13．若
的展開式中
項的系數為70，則
的
值為________________。
14．如圖，是一個程序框圖，則輸出結果為___________。
15．如圖，是一個空間幾何體的三視圖，則這個幾何體的
外接球的體積是_____________。
16．給出下列命題：
①函數
不是周期函數；
②函數
在定義域內為增函數；
③函數
的正小正周期為
；
④函數
的一個對稱中心為
其中正確命題的序號為___________。
三、解答題：本大題共8小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17．（本小題滿分12分）在
+
（I）求證：為直角三角形；
（Ⅱ）若外接圓半徑為1，求周長的取值范圍。
18．（本小題滿分12分）已知四棱錐
的底面是正
方形，
上的任意一點。
（I）求證：平面
；
（Ⅱ）設
求點
到平面
的距離；
（Ⅲ）當
的值為多少時，二面角
的大小為120°?
19．（本小題滿分12分）廠家在產品出廠前，需對產品做檢驗，廠家將一批產品發給商家時，商家按合同規定也需要隨即抽取一定數量的產品做檢驗，以決定是否接收這批產品。
（I）若廠家庫房中的每件產品合格率為0.8，從中任意取出4件進行檢驗，求至少有1件是合格的概率。
（Ⅱ）若廠家發給商家20件產品，其中有3件不合格，按合同規定該商家從中任意取2件進行檢驗，只有2件產品都合格才接收這批產品，否則拒收，求該商家檢驗出不合格產品數X的分布列及期望E（X），并求該商家拒收這批產品的概率。
20．（本小題滿分12分）已知向量
，動點到定直線
的距離等于
，并且滿足
，其中為坐標原點，
為非負實數。
（I）求動點的軌跡方程
；
（Ⅱ）若將曲線向左平移一個單位，得曲線
，試判斷曲線為何種類型；
（Ⅲ）若（Ⅱ）中曲線為圓錐曲線，其離心率滿足
，當
是曲線的兩個焦點時，則圓錐曲線上恒存在點
，使得
成立,求實數的取值范圍
21．（本小題滿分12分）已知函數
時，函數取得極大值。
（I）求實數
的值；
（Ⅱ）若函數
在區間
內導數都存在，且
，則存在
，使得
，無需證明即可利用上述結論
證明：若
，則對任意
都有
；
（Ⅲ）已知正數
滿足
求證：當
時，對任
意大于-1，且互不相等的實數
，…，
,都有
…+
.
請考生在第22、23、24題中任選一題做答，如果多做，那么按所組的第一題記分，
做答時，用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑。
22．（本小題滿分10分）選修4―1；幾何證明選證
在半徑為1的圓中，兩弦和
交于點
，且
，
的延長于點
。若
，求
的長。
23．（本小題滿分10分）選修4―4；坐標系與參數方程
已知直線的參數方程為
，（
為參數，
為傾斜角，且
）與曲線
=1交于
兩點。
（I）寫出直線的一般方程及直線通過的定點的坐標；
（Ⅱ）求
的最大值。
24．（本小題滿分10分）選修4―5：不等式選講。
關于的二次方程
有實根，求的取值范圍
2009年沈陽市高三年級教學質量檢測（二）
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，滿分60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．C 2．C 3．C 4．C 5．A 6．D 7．A 8．A 9．B
10．D 11．A 12．B
二、填空題：本大題4共小題，每小題5分。
13．
14．
15．
16．①④
三、解答題（解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
17．（I）
由余弦定理得
整理得得
。
，故
為直角三角形
（Ⅱ）設內角
對邊的邊長分別是
外接圓半徑為1，
周長的取值范圍
18．（I）證明：
，
（Ⅱ）解：設
A
設點
到平面
的距離為
，
（Ⅲ解：設
軸建立空間直角坐標宿，為計算方便，不妨設
要使二面角
的大小為120°，則
即當
時，二面角的大小為120°
19．（I）記“廠家任意取出4件產品檢驗，其中至少有一件是合格品“為事件A，
則
（Ⅱ）
的可能取值為0，1，2，
所以的概率分布為
0
1
2
20．（I）設
（Ⅱ）曲線
向左平移1一個單位，得到曲線
的方程為
（1）當
（2）當
（Ⅲ）
21．（I）
（Ⅱ）令
，
（Ⅲ）用數學歸納法證明
請考生在第22、23、24題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分，做答時，用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑。
22．
23．（I）
（
為參數，
為傾斜角，且
）
（Ⅱ）
24．
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