懷化市2008年高三第一次模擬考試統一檢測試卷
數 學（理科）
命題人：懷鐵一中 向重新 審題人：市教科院 唐振球
懷化三中 周 睿
懷化一中 禹平宇
沅陵一中 沈清臣
一、選擇題：（本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）
1．若
其中
都是實數，i是虛數單位，則
=
A．1+2i B．1－2 i C．2+ i D．2－i
2. 設p：log2 x<0，q：
，則p是┲q的
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
3．若
, 則直線
=1必不經過
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4．設函數
是連續函數，則不等式
的解集為
A．
B．
C．
D．
5．邊長為1的正方形ABCD上有一動點P，則向量
?
的范圍是
A．[0，1]
B．[0，
] C．[1，] D．{1}
6．已知等差數列
的前n項和為Sn，且S2 =10，S5 = 55，則過點P(n，
)和
Q(n+2，
) (n∈N *)的直線的一個方向向量的坐標可以是
A． （2，
） B．
C.
D. 
7．設
是
展開式中x的系數，則
的值為
A．16
B．
8．已知方程
的兩個根都大于2，則實數m取值范圍是
A．
B．
C．
D．
9. 如圖1，在正方體ABCD－A1B
A．
B．
C．
D．
10．已知函數
，則函數
（其中0<a<1）的單調遞減區間是
A、
B、
C、
D、
二、填空題：（本大題共5小題，每小題5分 ，共25分，把答案填在答卷中對應題號后的橫線上.）
11．某工廠甲、乙、丙三條生產線共生產了某種產品180件，已知甲、乙、丙三條生產線各自生產的產品數依次組成一個等差數列. 為檢查這批產品的質量，決定采用分層抽樣的方法進行抽樣，共抽取樣品36件，則從乙生產線生產的產品中抽取了 件樣品．
12. 正三棱錐
的底面邊長為3，外接球的球心為
，且
．則三棱錐外接球的體積V= .
13. 已知橢圓
(m＞0)，若直線y＝x與橢圓的一個交點M在x軸上的射影恰好是橢圓的右焦點F，則m＝___________.
14. 平面內與直線垂直的非零向量稱為直線的法向量，空間中與平面垂直的非零向量稱為平面的法向量. 在平面直角坐標系中，直線的方程是
(A、B不同時為0)，在空間直角坐標系中，平面的方程是
(A、B、C不同時為0). 利用求動點軌跡方程的方法，可以求出過點A（3，1）且法向量為
的直線（點法式）方程為
, 化簡后得
；類比上述方法，在空間直角坐標系中，經過點A (2, 1, 3)
且法向量為
的平面（點法式）方程為 .（請寫出化簡后的結果）
15. 給出下列命題：
① 已知
，則p>q；
② 函數
的圖象關于直線
對稱，在區間
內是增函數；
③ 函數
（a是常數且a＞0）的最小值是－1, 且存在反函數；
④ 在
中，若AB=1，BC=2，則角C的取值范圍是
.
其中真命題的編號是 .（把你認為正確命題的序號都填上）.
懷化市2008年高三第一次模擬考試統一檢測試卷
數學（理科）答題卷
登 分 欄
題號
一
二
三
總分
16
17
18
19
20
21
得分
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
二、填空題（每小題5分 ，共25分）
11、 ； 12、 ； 13、 ；
14、 ； 15、 .
評卷人
得 分
三、解答題：（本大題共6小題，共75分，解答應寫出必要的文字說明，證明過程及演算步驟）.
16、（本題滿分12分）
已知銳角ΔABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且
．
(I) 求角B的大�。�
(II) 求
的值．
評卷人
得 分
17.（本小題滿分12分）
如圖2，四邊形PCBM是直角梯形，∠PCB＝90°，PM∥BC，PM＝1，BC＝2，又AC＝1，∠ACB＝120°，AB⊥PC，直線AM與直線PC 所成的角為60°.
�。á瘢┣笞C：平面PAC⊥平面ABC；
�。á颍┣蠖娼�
的大小.
 |
評卷人
得 分
評卷人
得 分
18. （本題滿分12分）
某電視臺《快樂五溪》節目有一個有獎競猜的環節．主持人為幸運觀眾準備了A、B、C三個相互獨立的問題，并且宣布：幸運觀眾答對問題A可獲獎金1000元，答對問題B可獲獎金2000元，答對問題C可獲獎金4000元，回答問題的先后順序由觀眾自由選擇，且每種答題順序的選擇都是等可能的. 但只有第一個問題答對，才能再回答第二題，只有答對第二個問題，才能再回答第三題，否則終止答題．假設幸運觀眾能答對問題A、B、C的概率分別為
、
、
．
(I) 求幸運觀眾獲得獎金5000元的概率；
(II)甲觀眾認為應選擇先易后難的順序（即A→B→C）回答問題，乙觀眾認為應選擇先難后易的順序（即C→B→A）回答問題. 請你分析他倆的說法，相比較而言，誰可能獲得更多的獎金？
19.（本小題滿分13分）
設函數
在
上是增函數.
（Ⅰ）求正實數
的取值范圍；
（Ⅱ）設
，求證：
評卷人
得 分
20.（本小題滿分13分）'
設不等式組 
表示的平面區域為D,區域D內的動點P到直線
和直線 
的距離之積為2, 記點P的軌跡為曲線C.
(Ⅰ)畫圖表示平面區域D，并求曲線C的方程；
(Ⅱ)是否存在過點
的直線l, 使之與曲線C交于相異兩點
、
,且以線段AB為直徑的圓與y軸相切？若存在, 求出直線l的斜率；若不存在, 說明理由．
評卷人
得 分
21.（本小題滿分13分）
已知函數
及正整數數列
. 若
,且當
時,有
； 又
,
, 且對任意
恒有
成立. 數列
滿足:
.
(Ⅰ) 求數列
及
的通項公式；
(Ⅱ) 求數列
的前
項和
；
(Ⅲ) 證明存在
，使得
對任意
均成立．
懷化市2008年高三第一次模擬考試統一檢測試卷
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.
CABCA，BCDDC
二、填空題：本大題共5小題，每小題5分 ，共25分，
11. 12； 12. 
； 13. 8； 14. x－2y－z+3=0； 15. ②④.
三、解答題：本大題共6小題，共75分. 解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
16.解：(Ⅰ)
由已知 
， ∴ 
，
又 ΔABC是銳角三角形， ∴ 
………………………………6分
(Ⅱ) 
………………………………12分
17.解法一：（Ⅰ）∵
，
且 
∴ 
， ……………………3分
∵ 
∴ 
……………………6分
（Ⅱ）取
的中點
，則
，連結
，
∵
，∴
，從而
作
，交
的延長線于
，連結
，則由三垂線定理知， AC⊥MH，
從而
為二面角
的平面角
…………………8分
直線
與直線
所成的角為
，∴
…………………9分
在
中，由余弦定理得
在
中，
在
中，
在
中，
故二面角
的平面角大小為
…………………12分
解法二：（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）在平面
內，過
作
，建立空間直角坐標系
（如圖）
由題意有
，設
，
則
………5分
由直線
與直線
所成的角為
，得
，即
，解得
………7分
∴
，設平面
的一個法向量為
，
則
，取
，得
……………9分
又 平面的法向量取為
……………10分
設
與
所成的角為
，則
，
故二面角的平面角大小為
……………12分
18. 解：(I)記“幸運觀眾獲得獎金5000元”為事件M，即前兩個問題選擇回答A、C且答對，最后在回答問題B時答錯了.
故 幸運觀眾獲得獎金5000元的概率為 
………………6分
(II) 設幸運觀眾按A→B→C順序回答問題所得獎金數為隨機變量ξ，則ξ的取值可以為0元、1000元、3000元和7000元，其分布列為
0
1000
3000
7000
P
∴ 
元. ………………9分
設幸運觀眾按C→B→A順序回答問題所得獎金數為隨機變量η，則η的取值可以為0元、4000元、6000元和7000元，其分布列為
η
0
4000
6000
7000
P
∴ 
元. ……11分
故 乙觀眾的選擇所獲獎金期望較大. ………………12分
19.解：（1）∵ 
……………………2分
由已知
對
恒成立，即
對恒成立
又 
∴ 
為所求 …………………………5分
（2）取
， ∵ 
， ∴ 
由已知
在
上是增函數，即
，
也就是
即 
…………8分
另一方面，設函數
，則 
∴
在
上是增函數，又
∴
當
時，
∴
，即 
綜上所述，
………………………………………………13分
20.解：(Ⅰ) 由題意可知，平面區域
如圖陰影所示． …3分
設動點為
，則
，即
．
由 
知
，x－y<0，即x2－y2<0．
所以 y2－x2＝4(y>0)，即為曲線的方程 …………6分
(Ⅱ)設
，
，則以線段
為直徑的圓的圓心為
.
因為以線段為直徑的圓
與
軸相切，所以半徑 
，
即 
………………………8分
因為直線AB過點
，當AB ^ x軸時，不合題意．
所以設直線AB的方程為 y＝k(x－2)．
代入雙曲線方程y2－x2＝4 (y＞0)得: (k2－1)x2－4k2x＋(8k2－4)＝0．
因為直線l與雙曲線交于A，B兩點，所以k≠±1．于是
x1＋x2＝，x1x2＝．
∴ |AB|=
∴ 
化簡得：k4＋2k2－1＝0 ……………………………11分
解得: k2＝－1 （k2＝－－1不合題意，舍去）．
由△＝(4k2)2－4(k2－1)(8k2－4)＝3k2－1＞0，又由于y＞0，所以－1<k<－ ．
所以直線l存在,其斜率為 k＝－. …………………13分
21. 解：(1) 因為 
,所以
,
于是: 
, 即
是以2為公比的等比數列.
，解得：
,
且
，所以
，于是
. ……3分
得：
是正整數列, 所以 
.
, 所以 
，…………………5分
得：
. 
得：
…………………6分
①
②
時，①式減去②式, 得
的前
項和 
．……………8分
時，
．這時數列
項和
．…………9分
的第一項
最大，下面證明：
③
知
，要使③式成立，只要 
，
，使得
對任意
均成立． ……………13分