海 淀 區 高 三 年 級 第 一 學 期 期 末 練 習
數 學（文科） 2008.1
學校 班級 姓名
題號
一
二
三
總分
（15）
（16）
（17）
（18）
（19）
（20）
分數
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的四個選項中,選出符合題目要求的一項.
（A）
（B）- （C）
（D）－
（2）過兩點(-1,1)和(0,3)的直線在x軸上的截距為 ( )
（A）-
（B） （C）3 （D）-3
（3）已知函數y=log2 x的反函數是y=f -1(x),那么函數y=f -1(x)+1的圖象大致是 ( )
（4）已知向量a=(1-sinθ,1),b=(,1+ sinθ),且a∥b,則銳角θ等于 ( )
（A）30° （B）45° （C）60° （D）75°
（5）設m、n是不同的直線，
、
、
是不同的平面，有以下四個命題：
①若∥, ∥,則∥ ②若⊥, m∥,則m⊥
③若m⊥, m∥,則⊥ ④若m∥n，n?，則 m∥
其中真命題的序號是 ( )
（A）①④ （B）②③ （C）②④ （D）①③
（6）在等差數列｛an｝中，若a1+a7+a8+a12=12,則此數列的前13項之和為 ( )
（A）39 （B）52 （C）78 （D）104
（7）已知點A(0,b),B為橢圓
+
=1(a>b>0)的左準線與x軸的交點，若線段AB的中點C在橢圓上，則該橢圓的離心率為 ( )
（A）
（B） （C）
（D）
（8）已知函數f(x)= 
-1的定義域是［a,b］(a,b,∈Z),值域是［0,1］,那么滿足條件
的整數數對(a,b)共有 ( )
（A）2個 （B）3個 （C）5個 （D）無數個
二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.請把答案填在題中橫線上.
（9）雙曲線
的一個焦點到一條漸近線的距離是
.
（10）把函數y=sin2x的圖象按向量a=(－
,0)平移得到的函數圖象的解析式為 .
（11）在正方體ABCD-A1B
角的余弦值是 .
（12）已知函數f(x)= 那么不等式f(x)<0的解集為 .
 |
（13）設不等式組 所表示的平面區域為S，則S的面積為 ;若A,B
為S內的兩個點，則｜AB｜的最大值為 .
（14）平面內有四個點，平面內有五個點，從這九個點中任取三點，最多可確
定 個平面;任取四點最多可確定 個四面體.(用數字作答)
（15）(本小題共13分)
三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程.
已知函數f(x)=cos2x+2sinxcosx-sin2x
（Ⅰ）求f(x)的最小正周期和值域；
（Ⅱ）在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,若f(
)=2且a2=bc，試判斷
△ABC的形狀.
（16） (本小題共13分)
設數列｛an｝的前n項和為Sn,a1=1,且數列｛Sn｝是以2為公比的等比數列.
（Ⅰ）求數列｛an｝的通項公式；
（Ⅱ）求a1+a3+…+a2n+1.
（17）(本小題共14分)
如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是正
方形，SA⊥底面ABCD，SA=AB,點M是SD的中點，
AN⊥SC,且交SC于點N.
（Ⅰ）求證：SB∥平面ACM;
（Ⅱ）求二面角D-AC-M的大小;
（Ⅲ）求證：平面SAC⊥平面AMN.
（18）（本小題共12分）
某城市有30%的家庭訂閱了A報，有60%的家庭訂閱了B報，有20%的家庭同時訂閱了A報和B報，從該城市中任取4個家庭.
(Ⅰ)求這4個家庭中恰好有3個家庭訂閱了A報的概率;
(Ⅱ)求這4個家庭中至多有3個家庭訂閱了B報的概率;
(Ⅲ)求這4個家庭中恰好有2個家庭A，B報都沒有訂閱的概率.
（19）(本小題共14分)
已知拋物線S的頂點在坐標原點，焦點在x軸上，△ABC的三個頂點都在拋物線上，且△ABC的重心為拋物線的焦點，若BC所在直線l的方程為4x+y-20=0.
（Ⅰ）求拋物線S的方程;
（Ⅱ）若O是坐標原點，P,Q是拋物線S上的兩個動點，且滿足OP⊥OQ.試說明動直線PQ是否過定點.
（20）（本小題共14分）
已知二次函數f(x)=ax2+bx的圖象過點(-4n, 0) , f′( x)是f(x)的導函數，且
f′(0)=2n,(n
N*).
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)若數列｛an｝滿足
f′(
),且a1=4,求數列｛an｝的通項公式；
(Ⅲ)對于(Ⅱ)中的數列｛an｝，求證a1+a2+a3+…+ak<5(k =1,2,3…).
海 淀 區 高 三 年 級 第 一 學 期 期 末 練 習
數 學（文科）
一、 選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）
題號
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
答案
D
A
B
B
D
A
C
C
二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，有兩空的小題，第一空3分，第二空2分，共30分）
(9)2 (10)y=sin(2x+
)
(11) 
(12)(-∞,-1)∪(-1,1) (13)16, 
(14)72,120
三、解答題（本大題共6小題，共80分）
（15）（共13分）
解：（Ⅰ）f(x)=cos2x+2
sinxcosx-sin2x
=sin2x+cos2x……………………………………………………4分
＝2sin(2x+
)………………………………………………………5分
∴T=
, f(x)∈［-2,2］ ……………………………………………7分
（Ⅱ）由f(
)=2，有f()=2sin(A+)=2, ………………………………8分
∴sin(A+)=1.
∵0<A<,∴A+=
,即A=.……………………………………10分
由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA及a2=bc,∴(b-c)2=0. ………………12分
則b=c,∴B=C=.
∴△ABC為等邊三角形. ……………………………………………13分
（16）（共13分）
解：（Ⅰ）∵S1=a1=1,且數列{Sn}是以2為公比的等比數列，
∴Sn=2n-1.……………………………………………………………2分
又當n≥2時，an=Sn-Sn-1=2n-2(2-1)=2n-2. …………………………5分
∴an=
………………………………………………7分
（Ⅱ）a3,a5,…,a2n+1是以2為首項，以4為公比的等比數列，…………9分
∴a3+a5+…＋a2n+1=
…………………………11分
∴a1+a3+…＋a2n+1=1+
…………………………13分
（17）（共14分）
方法一：
（Ⅰ）證明：連結BD交AC于E,連結ME.…………………………………1分
∵ABCD是正方形,∴E是BD的中點.∵M是SD的中點,∴ME是△DSB的中位線.
∴ME∥SB.………………………………………………………………………2分
又∵ME?平面ACM,SB?平面ACM, ………………………………………3分
∴SB∥平面ACM.………………………………………………………………4分
（Ⅱ）解：取AD中點F,則MF∥SA.作FQ⊥AC于Q，連結MQ. ………5分
∵SA⊥底面ABCD,∴MF⊥底面ABCD.
∴FQ為MQ在平面ABCD內的射影.
∵FQ⊥AC,
∴MQ⊥AC.
∴∠FQM為二面角D-AC-M的平面角.………………………………………7分
設SA=AB=a,在Rt△MFQ中，MF=
SA=
,FQ=DE=
a,
∴tanFQM=
∴二面角D-AC-M的大小為arctan
. ………………………………………9分
（Ⅲ）證明：由條件有DC⊥SA,DC⊥DA,∴DC⊥平面SAD,∴AM⊥DC.…………10分
又∵SA=AD,M是SD的中點，∴AM⊥SD.
∴AM⊥平面SDC. ………………………………………………………………11分
∴SC⊥AM.
由已知SC⊥AN,∴SC⊥平面AMN.
又SC?平面SAC,∴平面SAC⊥平面AMN. …………………………………14分
方法二：
解：（Ⅱ）如圖，以A為坐標原點，建立空間直角坐
標系A-xyz, ……………………………5分
由SA=AB,故設AB=AD=AS=1,則
A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),
D(1,0,0),S(0,0,1),M（，0，）.
∵SA⊥底面ABCD,
∴
是平面ABCD的法向量，
=(0,0,1).
設平面ACM的法向量為n=(x, y, z),
=(1,1,0), 
=（
），………………………………………………7分
 |
令x=1,則n=(1,-1,-1). …………………………………………………………8分
∴cos＜, n＞= = =
∴二面角D-AC-M的大小為arccos
.………………………………………9分
（Ⅲ）∵=（，0，），
=(-1,-1,1),…………………………………………10分
∴? = -+=0.
∴⊥.…………………………………………………………………………12分
又∵SC⊥AN且AN∩AM=A,
∴SC⊥平面AMN.又SC
平面SAC,
∴平面SAC⊥平面AMN.…………………………………………………………14分
（18）（共12分）
解：(Ⅰ)設“這4個家庭中恰好有3個家庭訂閱了A報”的事件為A,………1分
P(A)= 
(0.3)3(0.7)=0.0756
…………………………………………4分
答：這4個家庭中恰好有3個家庭訂閱了A報的概率為0.0756.
(Ⅱ)設“這4個家庭中至多有3個家庭訂閱了B報”的事件為B,………5分
P(B)=1-(0.6)4=1-0.1296=0.8704…………………………………………8分
答：這4個家庭中至多有3個家庭訂閱了B報的概率為0.8704.
(Ⅲ)設“這4個家庭中恰好有2個家庭A,B報都沒有訂閱”的事件為C, …9分
因為有30%的家庭訂閱了A報,有60%的家庭訂閱了B報，
有20%的家庭同時訂閱了A報和B報.所以兩份報紙都沒有訂閱的家庭
有30%.
所以P(C)= 
(0.3)2(0.7)2=0.2646
…………………………………12分
答：這4個家庭中恰好有2個家庭A,B報都沒有訂閱的概率為0.2646.
注：第三問若寫出兩份報紙都沒有訂閱的家庭有30%，后面計算有誤，給到10分.
（19）（共14分）
解：（Ⅰ）設拋物線S的方程為y2=2px.…………………………………………1分
由
可得2y2+py-20p=0.……………………………………3分
由Δ>0,有p>0,或p<-160.
設B(x1,y1),C(x2,y2),則y1+y2=
.
∴x1+x2=（5-
）+（5-
）=10-
=10+
.…………………………5分
設A(x3,y3)，由△ABC的重心為F（，0）,則
∴x3=
∵點A在拋物線S上，∴（）2=2p（
）,∴p=8.…………………6分
∴拋物線S的方程為y2=16x.……………………………………………………7分
(Ⅱ)當動直線PQ的斜率存在時，設PQ的方程為y=kx+b,顯然k≠0,b≠0.………
……………………………………………………………………………………8分
設P(xp, yp),Q(xQ, yQ),∵OP⊥OQ,∴kOP?kOQ=-1.
∴
?
=-1，∴xP xQ
+ yP yQ=0. …………………………………………10分
將y=kx+b代入拋物線方程，得ky2-16y+16b=0,∴yPyQ=
.
∵k≠0,b≠0,∴b=-16k,∴動直線方程為y=kx-16k=k(x-16).
此時動直線PQ過定點（16,0）.………………………………………………12分
當直線PQ 的斜率不存在時，顯然PQ⊥x軸，又OP⊥OQ,∴△POQ為等腰直角三角形.
由
得到P(16,16),Q(16,-16).
此時直線PQ亦過點（16,0）. …………………………………………………13分
綜上所述，動直線PQ過定點M(16,0). ………………………………………14分
（20）（共14分）
解：（Ⅰ）由已知，可得f '(x)=2ax+b, …………………………………………1分
∴
解之得a=.…………………………………………3分
（Ⅱ）∵
∴
由
=2×1
=2×2
=2×3
…
累加得
=n2-n(n=2,3…).………………………………………………6分
∴an=
（n=2,3…）.
當n=1時，
………………………………………………7分
∴an=
（n=1,2,3…）.……………………………………………8分
（Ⅲ）當k=1時，由已知a1=4<5顯然成立;………………………………………9分
當k≥2時,ak=
<
(k≥2)……………………11分
則a1+a2+a3+…+ak<4+［(1-)+(
)+…+ (
)］=5-
<5
………………………………………………………………………………13分
綜上，a1+a2+a3+…+ak<5(k=1,2,3…)成立. ………………………………14分
說明：其他正確解法按相應步驟給分.
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