2008年福州市高三第二次質檢
數學(文科)試卷
(考試時間：120分鐘；滿分150分)
注意事項：
1.本科考試分試題卷和答題卷，考生須在答題卷上作答，答題前，請在答題卷的密封線內填寫學校、班級、學號、姓名；
2.本試卷分為第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，全卷滿分150分，考試時間120分鐘.
參考公式：
如果事件A、B互斥，那么P（A＋B）＝P（A）＋P（B）．
如果事件A、B相互獨立，那么P（A?B）＝P（A）?P（B）．
如果事件A在一次試驗中發生的概率是
，那么它在n次獨立重復試驗中恰好發生k次的概率
.
球的表面積公式
,其中R表示球的半徑.
球的表體積公式
,其中R表示球的半徑.
第Ⅰ卷 （選擇題 共60分）
一.選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分. 在每小題所給的四個答案中有且只有一個答案是正確的）
1．不等式
的解集是（ ）.
A．（－3，1）
B．（1，＋
）
C．（－，-3）
（1，＋） D．（－，－1）（3，＋）
2．設集合
若
，則
的范圍是 ( )
A．
B. 
C. 
D. 
3. 設
為兩個平面，
為兩條直線，且
，
，有如下兩個命題：①若
，則
；②若
，則
，那么（ ）.
A. ①是真命題，②是假命題 B. ①是真命題，②是假命題
C. ①是真命題，②是真命題 D. ①是假命題，②是假命題
4. 若函數
的反函數圖象過點（1，5），則函數的圖象必過點（ ）.
A．（1，1） B．（1，5） C．（5，1） D．（5，5）
5. 已知
的展開式中，二項式系數和為
，各項系數和為
，則
（ ）
Ａ．-2 Ｂ．2 Ｃ．-3 Ｄ．3
6. 在等差數列
中: 
,則
（ ）
A. 40 B
7. 直角坐標系
中，
，若三角形
是直角三角形，則
的可能值個數是（ ）
Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4
8. “
”是“
”的（ �。�
Ａ．充分不必要條件 B. 必要不充分條件
Ｃ．充要條件 Ｄ． 既不充分也不必要條件
9. 如果把圓
沿向量
平移到
,且與直線
相切,則
的值為（ ）.
A.2或－
B.2或 C.－2或 D.－2或－
10. 某電視臺連續播放5個廣告，其中有3個不同的商業廣告和2個不同的奧運宣傳廣告，要求最后播放的必須是奧運宣傳廣告，且2個奧運宣傳廣告不能連續播放，則不同的播放方式有（ ）.
A．120種 B．48種 C．36種 D．18種
11. 已知函數
，在區間
上有最小值，則函數
在區間上一定（ �。�.
A.有最小值 B.有最大值 C.是減函數 D.是增函數
12. 在平面直角坐標系中，
，映射
將平面上的點
對應到另一個平面直角坐標系
上的點
，則當點
沿著折線
運動時，在映射的作用下，動點
的軌跡是（ �。�.
A. B. C. D.
第Ⅱ卷 （非選擇題 共90分）
二．填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分，將答案填在題后的橫線上．）
13. 在平面直角坐標系中，不等式組
表示的平面區域面積是 ．
14. 在
中，
，
且的面積為
，則
．
15. 一個四面體的所有棱長都為
，四個頂點在同一球面上，則此球的表面積為 ．
16. 已知定義在
上的函數
滿足
，且當
時，
，則
的值為 ．
三、解答題（本大題共6小題，共74分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算過程）
17．（本小題滿分12分）
已知函數f(x)=2acos2x+bsinxcosx
，且f(0)=
，f(
)=
.
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）的單調遞增區間；
（Ⅲ）函數f（x）的圖象經過怎樣的平移可使其對應的函數成為奇函數？
18．（本小題滿分12分）
三個人進行某項射擊活動，在一次射擊中甲、乙、丙三人射中目標的概率分別為
、
、
.
（Ⅰ）一次射擊后，三人都射中目標的概率是多少？
（Ⅱ）用隨機變量
表示三個人在一次射擊后射中目標的次數與沒有射中目標的次數之差的絕對值.求證的取值為1或3，并求
時的概率.
19．（本小題滿分12分）
如圖，直三棱柱A1B
（Ⅰ）求
與平面A
（Ⅱ）求二面角B―A1D―A的大�。�
（Ⅲ）點F是線段AC的中點，證明：EF⊥平面A1BD.
20．（本小題滿分12分）
數列
的前
項和為
，滿足關系：
.
(Ⅰ)求的通項公式：
(Ⅱ)設
數列
的前項和為
，求.
21． （本小題滿分12分）
設
是定義在[-1，1]上的偶函數，當x∈[-1，0]時，
+43222233．
(Ⅰ) 若在
上為增函數，求
的取值范圍；
(Ⅱ) 是否存在正整數，使的圖象的最高點落在直線
上？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
22．（本小題滿分14分）
已知點A（－2,0），B（2,0），動點P滿足：∠APB=2θ,且|PA||PB|sin2θ=2
（Ⅰ）證明：動點P的軌跡Q是雙曲線；
（Ⅱ）過點B的直線l與軌跡Q交于兩點
.試問x軸上是否存在定點C，使
為常數，若存在，求出點C的坐標；若不存在，說明理由.
2008年福州市高三第二輪質檢
一.選擇題 1-5 6-10 11-12 CBDCB DBAAC AA
二．填空題 13. 1 ; 14. 8 ; 15. 
; 16. -1
三、解答題
17.解：（Ⅰ）由f(0)=
，得=，∴
，則a=.
由f(
)=
，得+
-=，∴b=1，…………2分
∴f(x) =cos2x+sinxcosx -=cos2x+sin2x=sin(2x+
).…………4分
（Ⅱ）由f(x)=sin(2x+).
又由
+2kπ≤2x+≤
+2kπ，得
+kπ≤x≤
+kπ，
∴f（x）的單調遞增區間是［+kπ，+kπ］(k∈Z)．?…………8分
（Ⅲ）∵f(x)=sin2(x+
)，
∴函數f(x)的圖象右移后對應的函數可成為奇函數．…………12分
18．解：（I）一次射擊后，三人射中目標分別記為事件A1，A2，A3，
由題意知A1，A2，A3互相獨立，且
,…………2分
.…………5分
∴一次射擊后，三人都射中目標的概率是
.…………6分
（Ⅱ）證明：一次射擊后，射中目標的次數可能取值為0、1、2、3，相應的沒有射中目標的的次數可能取值為3、2、1、0，所以
可能取值為1、3, …………9分
則
）+
.………12分
19．解：（Ⅰ）連接A
∵AC⊥CB，∴BC⊥平面A
∴
為
與平面A
.
∴
與平面A
.………3分
（Ⅱ）分別延長AC，A1D交于G. 過C作CM⊥A
∵BC⊥平面ACC
∴BM⊥A
平面A
∴CG=2，DC=1 在直角三角形CDG中，
，
.……7分
即二面角B―A1D―A的大小為
.……………………8分
（Ⅲ）證明：∵A1B
∵由（Ⅰ）BC⊥平面A
∵EF在平面A
∴C
同理可證EF⊥BD，∴EF⊥平面A1BD.……………………12分
解法二：
（Ⅰ）同解法一……………………3分
（Ⅱ）∵A1B
AC⊥CB，D、E分別為C
建立如圖所示的坐標系得：
C（0，0，0），B（2，0，0），A（0，2，0），
C1（0，0，2）， B1（2，0，2）， A1（0，2，2），
D（0，0，1）， E（1，0，2）.………………6分
，設平面A1BD的法向量為
，
.…………6分
平面ACC
=（1，0，0），
.………7分
即二面角B―A1D―A的大小為
.…………………8分
（Ⅲ）證明：∵F為AC的中點，∴F（0，1，0），
.……10分
由（Ⅱ）知平面A1BD的一個法向量為
，∴
//n . ……11分
EF⊥平面A1BD.…………………………………12分
20．解：(Ⅰ) 據題意：
，
.
兩式相減,有：
，…………3分
.…………4分
又由S2=
解得
. …………5分
∴是以
為首項，為公比的等比數列，∴
.…………6分
(Ⅱ) 
………8分
…………12分
21．解： 因為當
∈[-1，0]時，
+43222233．
所以當∈
時，=
=-43，
∴
………………………………………2分
(Ⅰ)由題設
在
上為增函數，∴
在∈
恒成立，
即
對∈恒成立，于是，
，從而
．
即
的取值范圍是
………………………………6分
(Ⅱ)因為偶函數，故只需研究函數=2
－43在∈
的最大值．
令
=2=0，得
．……………8分
若
∈
，即0＜≤6，則
，
故此時不存在符合題意的；……………10分
若＞1，即＞6，則在上為增函數，于是
．
令2-4=12，故=8． 綜上，存在8滿足題設．………………12分
22．解: （Ⅰ）依題意，由余弦定理得：
, ……2分
即即
.
,即
. …………4分
（當動點與兩定點
共線時也符合上述結論）
動點的軌跡為以為焦點,實軸長為
的雙曲線．
所以，軌跡Q的方程為
.
…………6分
(Ⅱ)假設存在定點
,使
為常數．
（1）當直線
不與軸垂直時，
設直線的方程為
,代入整理得:
．
…………7分
由題意知，
．
設
,
,則
,
．…………8分
于是，
…………9分
． …………11分
要使是與無關的常數，當且僅當
，此時
． …12分
（2）當直線 與軸垂直時，可得點
,
，
當時，
． …13分
故在軸上存在定點
,使為常數. …………14分
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