雅禮中學2007屆高三4月質檢試題
一．選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的．
1．已知函數
，
，則
的值為
A．
B．
D．3
【解析】
，
故選A.
2．設全集
是實數集
. 
與
都是的子集（如圖所示）， 則陰影部分所表示的集合為
A．
B．
C．
D．
【解析】
，
，
，根據圖形所得陰影部分即為
，故選C.
3．已知物體的運動方程是
（
表示時間，單位：秒；
表示位移，單位：米），則瞬時速度為
A．0秒、2秒或4秒 B．0秒、2秒或16秒
C．2秒、8秒或16秒 D．0秒、4秒或8秒
【解析】函數兩邊同時對求導，得
，解得
，根據導數的物理意義知選D.
4．有共同底邊的等邊三角形
和
所在平面互相垂直，則異面直線
和
所成角的余弦值為
A．
B．
C．
D．
【解析】取
的中點
，以
為
軸建立空間直角坐標系
，不妨設等邊三角形的邊長為2，則
，
，
，
，
，
，
，故選B.
5．在等差數列
中，若
，則
的值為
A．4
B．
【解析】由
，
，故選C.
6．若
，
，則
成立的一個充分不必要條件是
A．
B．
C．
D．
【解析】
，故選A.
7．對于虛數
，作集合
，易知，
中任何兩個元素相乘的積仍然在中，現規定中關于乘法的單位元
：即對任意的
，都有
，則為
A．
B．
C．
D．
【解析】根據題目給出的信息即知選D.
8．
表示不超過
的最大整數(稱為的整數部分)，則方程
在
上的根有
A．1個 B．3個 C．5 個 D．無窮多個
【解析】
，結合函數的圖像知有三個根
、0、1，故選B.
9．設圓
：
，直線
，點
，使得存在點
，使
(
為坐標原點),則
的取值范圍是
A．
B．
C．
D．
【解析】依題意可得
，結合
，即得
，故選C.
10．平面上有相異的11個點，每兩點連成一條直線，共得48條直線，則任取其中的三個點，構成三角形的概率是
A．
B．
C．
D．
【解析】設有
組共線的點，每組點數不小于3，依次記為
，則有
，而
，所以
，當
時無整數解；當
時，有整數解
，因此三角形數為
，根據古典概率的定義有所求概率為
.故選B.
二．填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分，把答案填在題中橫線上．
11．已知函數
，且
，那么
.
【解析】
，
故
12．
.
【解析】
13．若橢圓
的左、右焦點分別為
、
，線段
被拋物線
的焦點分成5：3兩段，則此橢圓的離心率為
.
【解析】根據題意，得
，解得
14．
展開式中常數項（不含x的項）的和為
，則
的最簡表達式是
.
【解析】展開式的常數項為
，也可以倒序寫成
，兩式相加即得
，故
15．已知△中，過重心
的直線交邊
于
，交邊
于
，設△
的面積為
，△
的面積為
，
，
，則（?）
，（?）
的取值范圍是
.
【解析】設
，
，
，
，因為是△的重心，故
，又
，
，因為
與
共線，所以
，即
，又
與
不共線，所以
及
，消去
，得
.
（?）
，故
；
（?）
，那么
，當與
重合時，
，當位于中點時，
，故
，故
但因為與不能重合，故
三．解答題：本大題共6小題，共75分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
16．（本題滿分12分）若函數
的圖像與直線
相切，并且切點的橫坐標依次成公差為
的等差數列．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若點
是
圖像的對稱中心，且
[0,
]，求點A的坐標．
解：（Ⅰ）
…（4分）
∵的圖像與相切.
∴m為
的最大值或最小值. 即
或
…（6分）
（Ⅱ）又因為切點的橫坐標依次成公差為
的等差數列．所以最小正周期為.
又
， 所以
…（8分）
即
…（9分）
令
．則
∴
…（10分）
由0≤
≤
得
或
,因此點A的坐標為
、
．（12分）
17．（本題滿分12分）有一個4×5×6的長方體, 它的六個面上均涂上顏色. 現將這個長方體鋸成120個1×1×1的小正方體，從這些小正方體中隨機地任取1個.
（Ⅰ）設小正方體涂上顏色的面數為
，求的分布列和數學期望.
（Ⅱ）如每次從中任取一個小正方體，確定涂色的面數后，再放回，連續抽取6次，設恰好取到兩面涂有顏色的小正方體次數為
. 求的數學期望.
解：（Ⅰ）分布列
0
1
2
3
p
… （8分）
E=0×+1×+2×+3×=
…（10分）
（Ⅱ）易知～B(6, ), ∴ E=6×=1.8 …（12分）
18．（本題滿分12分）如圖，等腰直角△中，
，
平面，
∥
，
.
（Ⅰ）求二面角
的大小；
（Ⅱ）求點
到平面
的距離；
（Ⅲ）證明五點
在同一個球面上，并求
兩點的球面距離.
解：方法一
（Ⅰ）取
的中點，連結
，由
知
，又
，故
，所以
即為二面角的平面角.
在△
中，
，
，
，
由余弦定理有
，
所以二面角的大小是
.（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知道
平面，故平面
平面，故在平面
上的射影一定在直線上，所以點到平面的距離即為△的邊上的高.
故
.…（10分）
（Ⅲ）易證△
為直角三角形，且
，取
的中點，則由四邊形
是矩形知
，故五點在以為球心，為直徑的球面上，故兩點之間的球面距離就是半個大圓的弧長，是
（12分）
方法二
以點為坐標原點，以過垂直于的直線為軸，以所在直線為
軸，
為
軸建立空間直角坐標系
，如圖所示.（1分）
（Ⅰ）則
，
，
，
，設
是平面的法向量，則有
，即
，取
，
得
，易知平面
的一個法向量為
，
，故所求的角為
.（6分）
（Ⅱ）
，故點到平面的距離為
.（10分）
（Ⅲ）易知的中點的坐標為
，故
，
而
，故五點在以為球心，為直徑的球面上，故兩點之間的球面距離就是半個大圓的弧長，是（12分）
19．（本題滿分12分）一艘輪船在相距
貨幣單位，輪船行駛的最大速度是每小時25海里.
問：此船從甲地行駛至乙地最經濟的行船速度是多少？
解：設從甲地到乙地的行船速度為每小時
海里，則需要的時間為
小時，耗油量
，設耗油費用為
貨幣單位，由已知，當
時，耗油量
，耗油費為500貨幣單位，故
，
故行船的總費用為
貨幣單位…（4分）
上式兩邊同時對求導，得
，令
，即
，
解得
…（6分）
又
①當
，即
時，當
時，
，當
時，
，故
在
上單調遞減，在
上單調遞增，而在
上連續，故當時，取到最小值…（9分）
②當
，即
時，則對
總有，故在上單調遞減，故當
時，有最小值.
綜上所述知，當時，輪船行駛的速度應為每小時
海里最經濟；當時，輪船的行駛速度是每小時25海里最經濟. …（12分）
20．（本題滿分13分）不等式
同步練習冊答案
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