揚州市2006~2007學年度第一學期期末調研測試
高三數學試題
注意事項：本試卷共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘．
一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）．
1. 若集合
，
，則“
”是“
”的
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
2. 函數
（
）的反函數的解析表達式為
A．
B．
C．
D．
3. 已知
，
為鈍角，則
的值為
A．
B．
C．
D．
4. 一家五口人：爺爺、奶奶、爸爸、媽媽和小孩坐成一排拍照片,小孩一定要緊靠在爺爺和奶奶中間坐,奶奶不坐在兩端,共有不同的坐法
A．
種
B．
種
C．
種 D．
種
5. 一個與球心距離為
的平面截球所得圓的面積為
，則球的表面積為
A．
B．
C．
D．
6. 設變量
，
滿足約束條件
，則目標函數
的最小值為
A．
B．
C．
D．
7.以拋物線
上點
為切點的切線，與其準線交點的橫坐標為
A．
B．
C．
D．
8. 將函數
的圖象進行下列哪一種變換就變為一個奇函數的圖象
A．向左平移
個單位
B．向左平移
個單位
C．向右平移個單位
D．向右平移個單位
9. 在長方體
中，
為
上任意一點，則一定有
A．
與
異面
B．與
垂直
C．與平面
相交 D．與平面平行
8
3
4
1
5
9
6
7
2
10. 將
個正整數
填入
方格中，使其每行、每列、每條對角線上的數的和都相等，這個正方形叫做
階幻方.記
為階幻方對角線上數的和，如右圖就是一個階幻方，可知
.已知將等差數列：
前
項填入
方格中,可得到一個階幻方,則其對角線上數的和等于
A．
B．
C．
D．
二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）
11. 某地區有
、
、
三家養雞場，養雞的數量分別是
、
、
只，為了預防禽流感，現用分層抽樣的方法從中抽取一個容量為
只的樣本檢查疫情，則應從、、三家養雞場分別抽取的個體數為 ▲ ， ▲ ， ▲ .
12. 
▲ .
13. 某公司一年需購買某種貨物
噸，每次都購買噸，運費為
萬元/次，一年的總存儲費用為
萬元，要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則
▲ 噸.
14. 
展開式中的常數項是 ▲ .（用數字作答）
15.某人射擊一次擊中目標的概率為
，經過次射擊，此人至少有兩次擊中目標的
概率為 ▲ . （用分數表示）
16. 以下四個關于圓錐曲線的命題中
①過圓內一點（非圓心）作圓的動弦
，則中點的軌跡為橢圓；
②設、為兩個定點，若
，則動點的軌跡為雙曲線的一支；
③方程
的兩個根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；
④無論方程
表示的是橢圓還是雙曲線，它們都有相同的焦點.
其中真命題的序號為 ▲ . （寫出所有真命題的序號）.
三、解答題（本大題共5小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟）.
17.（本題滿分12分）
在
中，
，
，
.
（1）求
的值；（2）求
的值.
18.（本題滿分14分）
已知雙曲線的中心在原點，焦點在軸上，一條準線方程為
，一條漸近線的傾斜角為
.
（1）求雙曲線的方程；
（2）已知直線
與軸交于點，與雙曲線交于、兩點，求
的值.
19.（本題滿分14分）
如圖：
平面
，四邊形是矩形，
，
與平面所成的角是
，點
是
的中點，點
在邊
上移動.
（1）當點為的中點時，試判斷
與平面
的位置關系，并說明理由；
（2）證明：不論點在邊上何處，都有
；
（3）
等于何值時，二面角
的大小為
.
20.（本題滿分16分）
已知二次函數
的二次項系數為，且不等式
的解集為
.
（1）若方程
有兩個相等的實數根，求的解析式；
（2）若函數
在區間
內單調遞減，求的取值范圍；
（3）當
時，證明方程
僅有一個實數根.
21.（本題滿分14分）
設
（
為常數，且
），
，
，(
).
（1）求
的值；
（2）求證：數列
是等比數列；
（3）設數列的前項和為
，
，
，試比較
與
的大小.
一、選擇題：
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
二、填空題：
11. 
； 12. 
；
13. 
；
14. 
；
15. 
； 16. ③ ④ .
三、解答題：
17.解：（1）在
中，由
，得
， 又由正弦定理：
得：
.
……………………4分
（2）由余弦定理：
得：
，
即
，解得
或
（舍去），所以
.
……8分
所以，
即
.
…………………12分
18.解：（1）依題意，雙曲線的方程可設為：
、
，
則
解之得：
，
所以雙曲線的方程為：
.
……………………6分
（2）設
、
，直線
與
軸交于
點，此點即為雙曲線的右焦點，由
消去
，得
，
此方程的
且
，
，
所以、兩點分別在左、右支上，不妨設在左支、在右支上 ………9分
則由第二定義知：
，
， …………11分
所以
，即
. ………14分
（亦可求出、的坐標，用兩點間距離公式求.）
19.（1）當點
為
的中點時，
與平面
平行.
∵在
中，、
分別為、
的中點
∴∥
又
平面，而
平面
∴∥平面.
……………………4分
（2）證明（略證）：易證
平面
，又是
在平面內的射影，
，∴
.
……………………8分
(3)∵
與平面
所成的角是
，∴
，
，
.
過作
于
，連
，則
. …………………10分
易知：
，
，設
，則
，
，
在
中，
，
得
.
………14分
解法二:（向量法）（1）同解法一
（2）建立圖示空間直角坐標系，則
，
，
，
.
設，則
∴ （本小題4分）
（3）設平面
的法向量為
，由
，
得：
，
依題意
，∴
，
得.
（本小題6分）
20.解：（1）
，
∴可設
，
因而
①
由
得 
②
∵方程②有兩個相等的根，
∴
，即
解得 
或
由于
，（舍去），將 代入 ① 得
的解析式
.
…………………6分
（2）
=
，
∵
在區間
內單調遞減，
∴
在上的函數值非正，
由于，對稱軸
，故只需
，注意到，∴
，得
或
（舍去）
故所求a的取值范圍是
.
…………………11分
（3）時，方程
僅有一個實數根，即證方程
僅有一個實數根.令
，由
，得
，
，易知
在
，
上遞增，在
上遞減，的極大值
，的極小值
，故函數的圖像與軸僅有一個交點，∴時，方程僅有一個實數根，得證.
……………………16分
21.解：（1）
， ……………………1分
=
.
……………………4分
（2）
，
……………………5分
，………7分
∴數列
是
為首項，
為公比的等比數列. ……………………8分
（3）由（2）知
， Sn =
， ……………9分
=
∵0<
<1，∴>0，
，0<
<1，
，
∴
，
……………………11分
又當
時，
，∴
， ……………………13分
∴
<
.……14分
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