山東省淄博市2006―2007學年度第一次模擬考試高三數學（理科）
題號
一
二
三
總分
15
16
17
18
19
20
分數
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3至9頁，共150分。考試時間120分鐘。考試結束，將本試卷和答題卡一并交回。
第Ⅰ卷（選擇題 共40分）
注意事項：
1． 答第Ⅰ卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考試科目涂寫在答題卡上。
2． 每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。不能答在試卷上。
一、選擇題：本大題共8小題。每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．
等于
（ D
）
A．2-2i B．2+2i C．-2 D．2
2．已知(
)
的展開式中，不含x的項是
,那么正數p的值是
（ C ）
A．
1
B．
3．在
中，已知sinC=2sin(B+C)cosB,那么一定是
（ B ）
Ａ．等腰直角三角形 Ｂ．等腰三角形 Ｃ．直角三角形 Ｄ．等邊三角形
4．已知直線
上一點P的橫坐標為a，有兩個點A（-1，1），B（3，3），那么使向量
與
夾角為鈍角的一個充分但不必要的條件是
（ B ）
Ａ．-1<a<2 Ｂ．0<a<1 Ｃ．
Ｄ．0<a<2
5．若指數函數
的部分對應值如下表：
x
－2
0
0.592
1
則不等式
(|x|)<0的解集為
( D )
A．
B．
C．
D．
6．有一排7只發光二級管，每只二級管點亮時可發出紅光或綠光，若每次恰有3只二級管點亮，但相鄰的兩只二級管不能同時點亮，根據這三只點亮的二級管的不同位置或不同顏色來表示不同的信息，則這排二級管能表示的信息種數共有 （D）
Ａ．10 Ｂ．48 Ｃ．60 Ｄ．80
7．設f(x)是定義在實數集R上的函數，滿足f(0)=1，且對任意實數a，b都有f(a) -f(a-b)= b(
A．
B．
C．
D．
8．已知
是首項為1，公比為
的等比數列，
，
，（其中
表示
的最大整數，如[2.5]=2）．如果數列
有極限，那么公比的取值范圍是
( C )
A．
B．
C．
D． 
淄博市2006―2007學年度第一次模擬考試高三數學（理科）
第Ⅱ卷（共110分）
注意事項：
1．用鋼筆或圓珠筆將答案直接寫在試卷上。
2．答卷前將密封線內的項目填寫清楚。
得分
評卷人
二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。把答案填在 題中橫線上。
9．某工廠生產A、B、C三種不同型號的產品，產品數量之比依次為2：3：4，現用分層抽樣方法抽出一個容量為
的樣本，樣本中A種型號產品有16件.那么此樣本的容量=
．
10．若焦點在
軸上的橢圓
的離心率為
，則m=_________．
11．如果過點（0，1）斜率為k的直線l與圓
交于M、N兩點，
且M、N關于直線x+y=0對稱，那么直線l的斜率k=_____________；不等式組 
表示的平面區域的面積是_____________．
12．設函數f(x)=
，若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,則f(x)的解析式為f(x)=______________,關于x的方程f(x)= x的解的個數為___________．
13．已知過球面上三點A、B、C的截面到球心的距離等于球半徑的一半，且AC=BC=6，AB=4，則球的半徑等于_________,球的表面積等于__________．
14．設函數f(x)=sin(wx+
)(w＞0,－
＜＜
,給出以下四個結論：
①它的周期為π;
②它的圖象關于直線x=
對稱；
③它的圖象關于點（
,0）對稱； ④在區間（－
,0）上是增函數.
以其中兩個論斷為條件，另兩個論斷作結論寫出你認為正確的一個命題：____．
（注：填上你認為是正確的一種答案即可）
得分
評卷人
三、解答題：本大題共6小題，共80分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15．（本小題滿分13分）
學校文娛隊的每位隊員唱歌、跳舞至少會一項，已知會唱歌的有2人，會跳舞的有5人，現從中選2人．設
為選出的人中既會唱歌又會跳舞的人數，且
．
(I) 求文娛隊的人數；
(II) 寫出的概率分布列并計算
．
得分
評卷人
16．（本小題滿分13分）
已知函數
，曲線
在點x=1處的切線l不過第四象限且斜率為3，又坐標原點到切線l的距離為
，若
時，
有極值．
(I) 求a、b、c的值；
(II) 求在[-3,1]上的最大值和最小值．
17．（本小題滿分14分）
如圖，三棱錐P―ABC中， PC
平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一點，且CD平面PAB．
(I) 求證：AB平面PCB；
(II) 求異面直線AP與BC所成角的大小；
（III）求二面角C-PA-B的大小．
18．（本小題滿分13分）設A，B分別是直線
和
上的兩個動點，并且
，動點P滿足
．記動點P的軌跡為C．
（I） 求軌跡C的方程；
（II）若點D的坐標為（0，16），M、N是曲線C上的兩個動點，且
，求實數
的取值范圍．
19．(本小題滿分13分)已知
，
，數列
滿足
，
， 
．
（Ⅰ）求證：數列
是等比數列；
（Ⅱ）當n取何值時，
取最大值，并求出最大值；
（III）若
對任意
恒成立，求實數的取值范圍．
20．(本小題滿分14分)已知函數
,（ x>0）．
（I）當0<a<b，且f(a)=f(b)時，求證：ab>1；
（II）是否存在實數a，b（a<b），使得函數y=f(x)的定義域、值域都是[a，b]，若存在，則求出a，b的值，若不存在，請說明理由．
（III）若存在實數a，b（a<b），使得函數y=f(x)的定義域為 [a，b]時，值域為 [ma，mb]
(m≠0),求m的取值范圍．
一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）
1．D 2．Ｃ 3．B 4．Ｂ 5．Ｄ 6．Ｄ 7．Ａ 8．Ｃ
二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）
9．72 10．
11．1 ，
12．f(x)=
，3
13．
，
14．①②
③④ , ①③②④
注：兩個空的填空題第一個空填對得2分，第二個空填對得3分．
三、解答題（本大題共6小題，共80分）
15．（本小題滿分13分）
解：設既會唱歌又會跳舞的有x人，則文娛隊中共有（7-x）人，那么只會一項的人數是
（7-2 x）人．
(I)∵
，
∴
．……………………………………3分
即
．
∴
．
∴x=2． ……………………………………5分
故文娛隊共有5人．……………………………………7分
(II) 
的概率分布列為
0
1
2
P
，……………………………………9分
，……………………………………11分
∴
=1． …………………………13分
16．（本小題滿分13分）
解：(I)由
，得
．……………………………………2分
當x=1時，切線l的斜率為3，可得
當
時，
有極值，則
，可得
由①、②解得 a=2,b=-4．……………………………………5分
設切線l的方程為 
．
由原點到切線l的距離為
，
則
．解得m=±1．
∵切線l不過第四象限，
∴m=1．……………………………………6分
由于l切點的橫坐標為x=1，∴
．
∴1+a+b+c=4．
∴c=5．…………………………………………………………………7分
(II)由(I)可得
，
∴
．……………………………………8分
令
，得x=－2, ．
x
[-3,-2)
-2
(-2, 
)
(,1]
+
0
-
0
+
f(x)
極大值
極小值
……………………………………11分
∴f(x)在x=－2處取得極大值f(-2)=13．
在處取得極小值
=
．
又f(-3)=8，f(1)=4．
∴f(x)在[-3,1]上的最大值為13，最小值為．……………………………………13分
17．（本小題滿分14分）
解法一：(I) ∵PC
平面ABC，
平面ABC，
∴PCAB．…………………………2分
∵CD平面PAB，平面PAB，
∴CDAB．…………………………4分
又
，
∴AB平面PCB． …………………………5分
(II) 過點A作AF//BC，且AF=BC，連結PF，CF．
則
為異面直線PA與BC所成的角．………6分
由（Ⅰ）可得AB⊥BC，
∴CFAF．
由三垂線定理，得PFAF．
則AF=CF=
，PF=
，
在
中， tan∠PAF=
=
，
∴異面直線PA與BC所成的角為
．…………………………………9分
（III）取AP的中點E，連結CE、DE．
∵PC=AC=2，∴CE PA，CE=．
∵CD平面PAB，
由三垂線定理的逆定理，得 DE PA．
∴
為二面角C-PA-B的平面角．…………………………………11分
由(I) AB平面PCB，又∵AB=BC，可求得BC=．
在
中，PB=
，
．
在
中， sin∠CED=
．
∴二面角C-PA-B的大小為arcsin
．……14分
解法二：（I）同解法一．
(II) 由(I) AB平面PCB，∵PC=AC=2，
又∵AB=BC，可求得BC=．
以B為原點，如圖建立坐標系．
則Ａ（０，，０），Ｂ（0，0，0），
C（，０，0），P（，０，2）．
，
．
…………………7分
則
+0+0=2．
=
= 
．
∴異面直線AP與BC所成的角為．………………………10分
（III）設平面PAB的法向量為m= (x，y，z)．
，，
則
即
解得
令
= -1, 得 m= (，0，-1)．
設平面PAC的法向量為n=(
)．
，
，
則
即
解得
令
=1, 得 n= (1，1，0)．……………………………12分
=
．
∴二面角C-PA-B的大小為arccos
．………………………………14分
18．（本小題滿分13分）
解：（I）設P（x，y），因為A、B分別為直線
和
上的點，故可設
，
．
∵
，
∴
∴
………………………4分
又
，
∴
．……………………………………5分
∴
．
即曲線C的方程為
．………………………………………6分
（II） 設N（s，t），M（x，y），則由
，可得（x，y-16）=
(s，t-16)．
故
，
．……………………………………8分
∵M、N在曲線C上，
∴
……………………………………9分
消去s得 
．
由題意知
，且
，
解得 
．………………………………………………………11分
又 
， ∴
．
解得
（）．
故實數的取值范圍是（）．………………………………13分
19．（本小題滿分13分）
解：（I）∵
，
，
，
∴
．
即
．
又
，可知對任何
，
，
所以
．……………………………2分
∵
，
∴
是以
為首項，公比為
的等比數列．………4分
（II）由（I）可知
=
（
）．
∴
．
．……………………………5分
當n=7時，
，
；
當n<7時，
，
；
當n>7時，
，
．
∴當n=7或n=8時，
取最大值，最大值為
．……8分
（III）由
，得
（*）
依題意（*）式對任意
恒成立，
①當t=0時，（*）式顯然不成立，因此t=0不合題意．…………9分
②當t<0時，由
，可知
（）．
而當m是偶數時
，因此t<0不合題意．…………10分
③當t>0時，由（）,
∴
∴
． （）……11分
設
（）
∵
=
,
∴
．
∴
的最大值為
．
所以實數
的取值范圍是
．…………………………………13分
20．（本小題滿分14分）
解：（I） ∵x>0，∴
∴f(x)在（0，1）上為減函數，在
上是增函數．
由0<a<b，且f(a)=f(b)，
可得 0<a
1<b和
．
即
．
∴2ab=a+b>
．……………………………………3分
故
，即ab>1．……………………………………4分
（II）不存在滿足條件的實數a，b．
若存在滿足條件的實數a，b，使得函數y=
的定義域、值域都是
[a，b]，則a>0．
① 當
時，
在（0，1）上為減函數．
故
即 
解得 a=b．
故此時不存在適合條件的實數a，b．………………………………6分
② 當
時，
在上是增函數．
故
即 
此時a，b是方程
的根，此方程無實根．
故此時不存在適合條件的實數a，b．………………………………8分
③ 當
，
時，
由于
，而
，
故此時不存在適合條件的實數a，b．
綜上可知，不存在適合條件的實數a，b．………………………………10分
（III）若存在實數a，b（a<b），使得函數y=f(x)的定義域為[a，b]時，值域為[ma，mb]．
則a>0，m>0．
① 當時，由于f(x)在（0，1）上是減函數，故
．此時刻得a,b異號，不符合題意，所以a，b不存在．
② 當或時，由（II）知0在值域內，值域不可能是[ma，mb]，所以a，b不存在．
故只有．
∵在
上是增函數，
∴
即 
a， b是方程
的兩個根．
即關于x的方程有兩個大于1的實根．……………………12分
設這兩個根為
，
．
則+=
，?=．
∴
即 
解得 
．
故m的取值范圍是．…………………………………………14分
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