2004年普通高等學校招生全國統一考試
數學（文史類）（北京卷）
本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分.第I卷1至2頁.第II卷3至9頁.共150分.考試時間120分鐘.
第I卷（選擇題 共40分）
注意事項：
1. 答第I卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考試科目用鉛筆涂寫在答題卡上。
2. 每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，不能答在試題卷上.
3. 考試結束，監考人將本試卷和答題卡一并收回.
參考公式：
三角函數的積化和差公式
正棱臺、圓臺的側面積公式 
其中c’，c分別表示上、下底面周長，
表示斜高或母線長
球體的表面積公式
其中R表示球的半徑
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
（1）設
，
，則
等于
（A）
（B）
（C）
（D） 
（2）滿足條件
的復數
在復平面上對應點的軌跡是
（A）一條直線 （B）兩條直線 （C）圓 （D） 橢圓
（3）設m、n是兩條不同的直線，
是三個不同的平面，給出下列四個命題：
①若
，
，則
②若
，
，
，則
③若
，
，則
④若
，
，則
其中正確命題的序號是
（A）①和② （B）②和③ （C）③和④ （D） ①和④
（4）已知a、b、c滿足
，且
，那么下列選項中一定成立的是
（A）
（B）
（C）
（D）
（5）從長度分別為1，2，3，4的四條線段中，任取三條的不同取法共有n種，在這些取法中，以取出的三條線段為邊可組成的三角形的個數為m，則
等于
（A）0 （B）
（C）
（D）
（6）如圖，在正方體
中，P是側面
內一動點，若P到直線BC與
直線
的距離相等，則動點P的軌跡所在的曲線是
（A）直線 （B）圓 （C）雙曲線 （D） 拋物線
（7）函數
在區間［1，2］上存在反函數的充分必要條件是
（A）
（B）
（C）
（D）
（8）函數
，其中P、M為實數集R的兩個非空子集，又規定
，
，給出下列四個判斷：
①若
，則
②若
，則
③若
，則
④若
，則
其中正確判斷有
（A）3個 （B）2個 （C）1個 （D） 0個
第Ⅱ卷（非選擇題 共110分）
二、 填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.把答案填在題中的橫線上.
（9）函數
的最小正周期是______________.
（10）方程
的解是______________.
（11）圓
的圓心坐標是______________，如果直線
與該圓有公共點，那么實數a的取值范圍是______________.
（12）某地球儀上北緯
緯線的長度為
，該地球儀的半徑是__________cm，表面積是______________cm2.
（13）在函數
中，若a，b，c成等比數列且
，則
有最______________值（填“大”或“小”），且該值為______________.
（14）定義“等和數列”：在一個數列中，如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數，那么這個數列叫做等和數列，這個常數叫做該數列的公和.
已知數列
是等和數列，且
，公和為5，那么
的值為______________，且這個數列的前21項和
的值為______________.
（15）（本小題滿分14分）
三、 解答題：本大題共6小題，共80分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
在
中，
，
，
，求
的值和的面積
（16）（本小題滿分14分）
如圖，在正三棱柱
中，AB＝2，
，由頂點B沿棱柱側面經過棱
到頂點
的最短路線與的交點記為M，求：
（I）三棱柱的側面展開圖的對角線長;
（II）該最短路線的長及
的值;
（III）平面
與平面ABC所成二面角（銳角）的大小
（17）（本小題滿分14分）
如圖，拋物線關于x軸對稱，它的頂點在坐標原點，點P（1，2），A（
），B（
）均在拋物線上。
（I）寫出該拋物線的方程及其準線方程;
（II）當PA與PB的斜率存在且傾斜角互補時，求
的值及直線AB的斜率
（18）（本小題滿分14分）
函數定義在［0，1］上，滿足
且
，在每個區間
（
1，2……）上，
的圖象都是平行于x軸的直線的一部分.
（I）求
及
，
的值，并歸納出
的表達式
（II）設直線
，
，x軸及的圖象圍成的矩形的面積為
（1，2…），求
及
的值.
（19）（本小題滿分12分）
某段城鐵線路上依次有A、B、C三站，AB=5km，BC=3km，在列車運行時刻表上，規定列車8時整從A站發車，8時07分到達B站并停車1分鐘，8時12分到達C站.在實際運行中，假設列車從A站正點發車，在B站停留1分鐘，并在行駛時以同一速度
勻速行駛，列車從A站到達某站的時間與時刻表上相應時間之差的絕對值稱為列車在該站的運行誤差.
（I）分別寫出列車在B、C兩站的運行誤差;
（II）若要求列車在B，C兩站的運行誤差之和不超過2分鐘，求
的取值范圍.
（20）（本小題滿分12分）
給定有限個正數滿足條件T：每個數都不大于50且總和L＝1275.現將這些數按下列要求進行分組，每組數之和不大于150且分組的步驟是：
首先，從這些數中選擇這樣一些數構成第一組，使得150與這組數之和的差
與所有可能的其他選擇相比是最小的，
稱為第一組余差；
然后，在去掉已選入第一組的數后，對余下的數按第一組的選擇方式構成第二組，這時的余差為
；如此繼續構成第三組（余差為
）、第四組（余差為
）、……，直至第N組（余差為
）把這些數全部分完為止.
（I）判斷
的大小關系，并指出除第N組外的每組至少含有幾個數
（II）當構成第n（n<N）組后，指出余下的每個數與
的大小關系，并證明
;
（III）對任何滿足條件T的有限個正數，證明：
.
2004年普通高等學校招生全國統一考試
一、 選擇題：本大題主要考查基本知識和基本運算.每小題5分，滿分40分.
（1）D （2）C （3）A （4）A （5）B （6）D （7）C （8）B
二、填空題：本大題主要考查基本知識和基本運算.每小題5分，滿分30分.
（9）
（10）
（11）（0，1），
（12）
（13）大 -3
（14）3 52
三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
（15）本小題主要考查三角恒等變形、三角形面積公式等基本知識，考查運算能力.滿分14分.
解法一：
又
,
.
解法二：
（1）
,
. （2）
（1）+（2）得：
.
（1）－（2）得：
.
.
（以下同解法一）
（16）本小題主要考查直線與平面的位置關系、棱柱等基本知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力.滿分14分.
解：（I）正三棱柱
的側面展開圖是長為6，寬為2的矩形
其對角線長為
.
（II）如圖，將側面
繞棱
旋轉
使其與側面
在同一平面上，點B運動到點D的位置，連接
交于M，則就是由頂點B沿棱柱側面經過棱到頂點C1的最短路線，其長為
.
，
,
故
.
（III）連接DB，
，則DB就是平面
與平面ABC的交線
在
中,
又
,
由三垂線定理得
.
就是平面與平面ABC所成二面角的平面角（銳角）,
側面
是正方形,
.
故平面與平面ABC所成的二面角（銳角）為
.
（17）本小題主要考查直線、拋物線等基本知識，考查運用解析幾何的方法分析問題和解決問題的能力.滿分14分.
解：（I）由已知條件，可設拋物線的方程為
.
點P（1，2）在拋物線上,
，得
.
故所求拋物線的方程是
,
準線方程是
.
（II）設直線PA的斜率為
，直線PB的斜率為
,
則
，
.
PA與PB的斜率存在且傾斜角互補,
.
由A（
），B（
）在拋物線上，得
,（1）
,
（2）
由（1）－（2）得直線AB的斜率
（18）本小題主要考查函數、數列等基本知識，考查分析問題和解決問題的能力.滿分14分.
解：（I）由
，得
.
由
及
，得
.
同理，
.
歸納得
（II）當
時，
,
,
,
.
所以
是首項為
，公比為
的等比數列.
所以
.
（19）本小題主要考查解不等式等基本知識，考查應用數學知識分析問題和解決問題的能力.滿分12分.
解：（I）列車在B，C兩站的運行誤差（單位：分鐘）分別是
和
（II）由于列車在B，C兩站的運行誤差之和不超過2分鐘，所以
（*）
當
時，（*）式變形為
,
解得
;
當
時，（*）式變形為
,
解得;
當
時，（*）式變形為
,
解得
綜上所述，
的取值范圍是[39，
].
（20）本小題主要考查不等式的證明等基本知識，考查邏輯思維能力、分析問題和解決問題的能力.滿分12分.
解：（I）
.除第N組外的每組至少含有
個數.
（II）當第n組形成后，因為
，所以還有數沒分完，這時余下的每個數必大于余差
，余下數之和也大于第n組的余差，即
,
由此可得
.
因為
，所以
.
（III）用反證法證明結論，假設
，即第11組形成后，還有數沒分完，由（I）和（II）可知，余下的每個數都大于第11組的余差
，且
,
故余下的每個數
. （*）
因為第11組數中至少含有3個數，所以第11組數之和大于
,
此時第11組的余差
,
這與（*）式中
矛盾，所以
.
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