Question

【題目】萬有引力定律揭示了天體運行規律與地上物體運動規律具有內在的一致性．

(1)用彈簧秤稱量一個相對于地球靜止的小物體的重量，隨稱量位置的變化可能會有不同的結果．已知地球質量為M，自轉周期為T，萬有引力常量為G.將地球視為半徑為R、質量均勻分布的球體，不考慮空氣的影響．設在地球北極地面稱量時，彈簧秤的讀數為F0.

a．若在北極上空高出地面h處稱量，彈簧秤讀數為F1，求比值的表達式，并就h＝1.0%R的情形算出具體數值(計算結果保留2位有效數字)；

b．若在赤道地面稱量，彈簧秤讀數為F2，求比值的表達式．

(2)設想地球繞太陽公轉的圓周軌道半徑r、太陽的半徑為RS和地球的半徑R三者均減小為現在的1.0%，而太陽和地球的密度均勻且不變，僅考慮太陽和地球之間的相互作用，以現實地球的1年為標準，計算“設想地球”的1年將變為多長？

Answer 1

【答案】（1）；（2）不變

【解析】試題分析：（1）根據萬有引力等于重力得出比值的表達式，并求出具體的數值．

在赤道，由于萬有引力的一個分力等于重力，另一個分力提供隨地球自轉所需的向心力，根據該規律求出比值的表達式

（2）根據萬有引力提供向心力得出周期與軌道半徑以及太陽半徑的關系，從而進行判斷．

解：（1）在地球北極點不考慮地球自轉，則秤所稱得的重力則為其萬有引力，于是

①

②

由公式①②可以得出：

=0.98．

③

由①和③可得：

（2）根據萬有引力定律，有

又因為，

解得

從上式可知，當太陽半徑減小為現在的1.0%時，地球公轉周期不變．

答：

（1）=0.98．比值

（2）地球公轉周期不變．仍然為1年．