Question

半徑為R、質量為M的鉛球內有一半徑為R/2的球形空腔，空腔表面與鉛球面內切，求這個空腔鉛球以多大的力吸引質量為m的小球（體積不計）．已知小球離鉛球中心的距離為d，且在鉛球中心與空腔中心的連線上，如圖所示．

Answer 1

??（4GmM/7）［2/d²-1/(2d-R)²］?

??解析一：如圖所示，設想把挖去部分用與鉛球同密度的材料填充，填充后鉛球的質量為M₀.為了抵消填充球體產生的引力，我們在右邊等距處又放置一個等質量的球體，球體質量為M₁，由前面運算知M₁=M/7，M₀=M+M₁=8M/7.則

??F=F₀-F₁=GmM₀/d²-GmM₁/(d-R/2)²=8GmM/7d²-4GmM/7(2d-R)²=(4GmM/7)［2/d²-1/(2d-R)²］.
??解析二：如圖所示，設想把挖去部分用與鉛球同密度的材料填充，填充后鉛球的質量為M₀，則完整鉛球對小球的吸引力可以看成是空腔鉛球對小球的引力F₁與填充材料對小球的引力的合力即F₀=F₁+F₂則F₁=F₀-F₂=GmM₀/d²-GmM₁/(d-R/2)²=8GmM/7d²-4GmM/7(2d-R)²=(4GmM/7)［2/d²-1/(2d-R)²］.