Question

如圖所示，A、B、C是三個完全相同的物塊，質量均為m，其中物塊A、B用輕彈簧相連，將它們豎直放在水平地面上處于靜止狀態，此時彈簧的壓縮量為x₀．已知重力加速度為g，物塊的厚度及空氣阻力均可忽略不計，且在下面所述的各過程中彈簧形變始終在彈性限度內．
（1）若用力將物塊A豎直向上緩慢提起，使物塊B恰好能離開水平地面，求此過程中物塊A被提起的高度．
（2）如果使物塊C從距物塊A高3x₀處自由落下，C與A相碰后，立即與A粘在一起不再分開，它們運動到最低點后又向上彈起，物塊A剛好能回到使彈簧恢復為原長的位置．求C與A相碰前彈簧的彈性勢能大小．
（3）如果將物塊C從距物塊A上方某處由靜止釋放，C與A相碰后立即一起向下運動但并不粘連．此后物塊A、C在彈起過程中分離，其中物塊C運動到最高點時被某裝置接收，而物塊A剛好能在物塊B不離開地面的情況下做簡諧運動．求物塊C的釋放位置與接收位置間的距離．

Answer 1

分析：（1）由胡克定律分別求出AB豎直放置靜止時，彈簧被壓縮的長度和物塊B恰好能離開水平地面時，彈簧伸長的長度，由幾何關系求解物塊A被提起的高度．
（2）物塊C從距物塊A高3x₀處自由落下機械能守恒，C與A碰撞過程遵守動量守恒，C與A相碰后一起向下運動到最低點，然后反彈至彈簧原長的過程，CA和彈簧組成的系統機械能守恒，分別列方程求出C與A相碰前彈簧的彈性勢能大�。�
（3）根據問題（2）同樣分析，結合物塊A剛好能在物塊B不離開地面的情況下做簡諧運動的條件，按過程列方程，求出物塊C的釋放位置與接收位置間的距離．

解答：解：（1）設彈簧勁度系數為k，物塊A、B用輕彈簧相連，豎直放置時，彈簧的壓縮量為x₀=

mg

k

．
    將物塊A豎直向上緩慢提起，使物塊B恰好能離開水平地面時，
彈簧伸長x₁=

mg

k

   則物塊A被提起的高度L=x₀+x₁=2x₀
   （2）設C自由落下到與A相碰前的速度為v₁，由機械能守恒定律，得
       mg?3x₀=

1

2

m

v

2 1

設C與A碰撞后一起向下運動的初速度為v₂，根據動量守恒定律，得
        mv₁=2mv₂
設C與A相碰前彈簧的彈性勢能為E_P，物塊A、C運動到最低點后又向上反彈，剛好能使彈簧恢復到原長的過程中，對A、C和彈簧組成的系統機械能守恒得
      有

1

2

2m

v

2 2

+E_P=2mgx₀
聯立解
       E_P=

1

2

mgx₀
（3）設物塊C距物塊A的高度差為h₀，與物塊A碰撞前速度為v₃，由機械能守恒定律得
      mgh₀=

1

2

m

v

2 3

   設C與A相碰后一起向下運動的初速度為v₄，根據動量守恒定律有
      mv₃ =2mv₄
    物塊A、C一起向下壓縮彈簧后向彈起，到達彈簧原長時，C與A分離．設分離時速度為v₅，對此過程由機械能守恒定律，得
   

1

2

2

mv

2 4

+E_P=2mgx₀+

1

2

2m

v

2 5

之后，物塊C向上做勻減速運動，設上升的高度為h，則根據機械能守恒定律有
    

1

2

m

v

2 5

=mgh    解得h=

v 2 5

2g

因物塊A剛好能在物塊B不離開地面的情況下做簡諧運動，結合第（1）問可知，物塊A運動到最高點時，彈簧形變量為x₀，故物塊A運動到最高點時彈簧的彈性勢能與物塊A處于靜止狀態彈簧的彈性勢能相等．
   對物塊A從彈簧恢復原長位置運動到最高點過程中，由機械能守恒定律有
   

1

2

m

v

2 5

=mgx₀+E_P
聯立以上各式，解得h₀=9x₀，h=1.5x₀
    由幾何關系可知，物塊C的釋放位置與接收位置間的距離
△h=h₀-x₀-h=6.5x₀

點評：本題是比較復雜的力學綜合題，首先要確定研究對象，其次分析物理過程，并尋找各個物理過程遵循的物理規律，同時要挖掘隱含的條件．