Question

【題目】導(dǎo)線中自由電子的定向移動形成電流，電流可以從宏觀和微觀兩個角度來認(rèn)識。

（1）一段通電直導(dǎo)線的橫截面積為S，它的摩爾質(zhì)量為M，密度為ρ，阿伏伽德羅常數(shù)位NA。導(dǎo)線中每個帶電粒子定向運動的速率為υ，粒子的電荷量為e，假設(shè)每個電子只提供一個自由電子。

①推導(dǎo)該導(dǎo)線中電流的表達(dá)式；

②如圖所示，電荷定向運動時所受洛倫茲力的矢量和，在宏觀上表現(xiàn)為導(dǎo)線所受的安培力。按照這個思路，請你嘗試由安培力的表達(dá)式推導(dǎo)出洛倫茲力的表達(dá)式。

（2）經(jīng)典物理學(xué)認(rèn)為金屬導(dǎo)體中恒定電場形成穩(wěn)恒電流。金屬導(dǎo)體中的自由電子在電場力的作用下，定向運動形成電流。自由電子在定向運動的過程中，不斷地與金屬離子發(fā)生碰撞。碰撞后自由電子定向運動的速度變?yōu)榱悖瑢⒛芰哭D(zhuǎn)移給金屬離子，使得金屬離子的熱運動更加劇烈，這就是焦耳熱產(chǎn)生原因。

某金屬直導(dǎo)線電阻為R，通過的電流為I。請從宏觀和微觀相結(jié)合的角度，證明：在時間t內(nèi)導(dǎo)線中產(chǎn)生的焦耳熱為Q=I2Rt（可設(shè)電子與離子兩次碰撞的時間間隔t0,碰撞時間忽略不計，其余需要的物理量可自設(shè)）。

Answer 1

【答案】（1）①②見解析（2）見解析

【解析】

(1）①金屬導(dǎo)線單位體積內(nèi)電子個數(shù)

在時間t內(nèi)流過導(dǎo)線橫截面的帶電粒子數(shù)

N=

通過導(dǎo)線橫截面的總電荷量

Q=Ne

導(dǎo)線中電流

I=

聯(lián)立以上三式可以推導(dǎo)出

I=

②導(dǎo)線受安培力大小

F安=BIL。

長L的導(dǎo)線內(nèi)總的帶電粒子數(shù)

N=nSL

又

I=

電荷定向運動時所受洛倫茲力的矢量和，表現(xiàn)為導(dǎo)線所受的安培力，即

Nf=F安

聯(lián)立以上三式可以推導(dǎo)出洛倫茲力的表達(dá)式

f=evB

（2）方法1：

設(shè)金屬導(dǎo)體長為L，橫截面積為S，兩端電壓為U，導(dǎo)線中的電場強(qiáng)度

E=

設(shè)金屬導(dǎo)體中單位體積中的自由電子數(shù)為n，則金屬導(dǎo)體中自由電子總數(shù)

設(shè)自由電子的帶電量為e，連續(xù)兩次碰撞時間間隔為t0，定向移動的平均速度為υ，則一次碰撞的能量轉(zhuǎn)移

一個自由電子在時間t內(nèi)與金屬離子碰撞次數(shù)為

金屬導(dǎo)體中在時間t內(nèi)全部自由電子與金屬離子碰撞，產(chǎn)生的焦耳熱

又

U=IR

聯(lián)立解以上各式推導(dǎo)得

方法2：

設(shè)金屬導(dǎo)體長為L，橫截面積為S，兩端電壓為U，導(dǎo)線中的電場強(qiáng)度

E=

設(shè)金屬導(dǎo)體中單位體積中的自由電子數(shù)為n，則金屬導(dǎo)體中自由電子數(shù)

在純電阻電路中，電流做的功等于焦耳熱，即Q=W

電流做的功等于電功率乘時間

W=Pt

電功率等于電場力對長為L的導(dǎo)線中所有帶電粒子做功功率的總和

自由電子受的電場力

F=Ee

又

U=IR

聯(lián)立解以上各式推導(dǎo)得